Bestimmen Sie die Koordinaten des Punktes P so, dass die Summe

Question

Aufgabe:

Gegeben ist eine gerade quadratische Pyramide. P ist ein Punkt

auf der Höhe FS der Pyramide. Bestimmen Sie die Koordinaten des Punktes P so, dass die Summe

der Abstände des Punktes P zu den fünf Eckpunkten der Pyramide minimal wird.

Problem/Ansatz:

Wie geht man hier vor? Kann mir jemand einen Ansatz geben.

Comments

Sind die Koordinaten der Punkte angegeben?

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"Kann mir jemand einen Ansatz geben."

Nicht wenn man nix über die Pyramide weiss! Wie denkst du soll dir jemand  helfen, der nicht weiss um was es genau geht?

lul

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Ich muss dir teilweise (zumindest fachlich) widersprechen.

Aus dem Aufgabentext ist zu entnehmen, dass eine quadratische Grundfläche existiert. Bei der mathematischen Modellierung ist es durchaus legitim, der Quadratseitenlänge einen Namen (z.B. "a") zu geben.

Aus der angenommenen Existenz der Pyramide kann man außerdem schließen, dass die Pyramide eine Höhe (nennen wir sie "h") besitzt.

Ich erlaube mir kein Urteil darüber, ob DU in der Lage bist, zumindest den Abstand von P zur Grundfläche für den gesuchten Minimallfall (in Abhängigkeit von a und h) zu ermitteln.

Ich prognostiziere: Das ist möglich.

Soweit zur fachlichen Seite.

Jetzt zur menschlichen Seite. Die Fragestellerin hat einen Tag lang nicht auf die Rückfrage von Silvia reagiert. Das ist genug Zeit, um abschließend zu entscheiden: Es ist nicht zumutbar, unter diesen Umständen noch Energie in eine allgemeine Lösung der oben genannten Problemstellung zu investieren. Insofern stimme ich dir also zu.

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Damit das keine offene Frage bleibt: ich halte Abakus Kommentar für eine Antwort

lul

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Ich prognostiziere: Das ist möglich

Dann wäre es nett, du würdest eine Lösung posten, auch wenn sich die FS nicht mehr dafür interessiert.

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ich halte Abakus Kommentar für eine Antwort

Aber doch wohl nur auf S. und deine Nachfrage, nicht auf die Frage des FS.

Eine Lösung der eigentlichen Frage ist übrigens lohnenswert, denn sie mag überraschend sein.

Answer 1

Hallo,

vielleicht so hier:

\(P_a = (\pm \frac{a}{2},\pm \frac{a}{2},0), P_h=(0,0,h),P_z=(0,0,z)\)

Abstandsquadratsumme:

\(A(z)=4\cdot|P_a-P_z|^2 + |P_h-P_z|^2=4(\frac{a^2}{2}+z^2)+(h-z)^2\\\frac{dA}{dz}=8z-2(h-z)=10z-2h \stackrel{!}{=}0\Rightarrow \underline{\underline{z=\frac{1}{5}h}}  \)

Answer 2

Hallo Sandra,

Eine Lösung der eigentlichen Frage ist übrigens lohnenswert, denn sie mag überraschend sein.

Überraschend ist vielleicht, dass das Ergebnis nicht von der Höhe \(h\) der Pyramide abhängt. Mal vorausgesetzt, dass sie 'ausreichend' hoch ist. Ist \(d\) die Diagonale der quadratischen Grundfläche der Pyramide und \(z\) die Höhe von \(P\) oberhalb der Grundfläche, so ist die Summe \(S\) der Abstände zu den fünf Eckpunkten und ihre Ableitung nach \(z\)$$S = h-z + 4\sqrt{z^2 +\left(\frac d2\right)^2} \\ S' = -1 + \frac{4z}{\sqrt{z^2 +\left(\frac d2\right)^2}} \to 0 $$Auflösen nach \(z\) liefert$$\begin{aligned} \implies \sqrt{z^2 +\left(\frac d2\right)^2} &= 4z \\ z^2 +\left(\frac d2\right)^2 &= 16z^2 \\ z &= \frac d{2 \sqrt{15}}\end{aligned}$$Wobei das Ergebnis IMHO gar nicht so aussagekräftig ist. Wenn man mit Hilfe des Lagrange-Mutiplikators an das Problem ran geht, wird es vielleicht klarer. In diesem Fall ist \(S\) schlicht$$S = h -z + 4s$$Wenn \(s\) der Abstand von \(P\) zu den jeden der vier Eckpunkte der Grundfläche ist. Die Nebenbedingung lautet dann $$z^2 + \left( \frac d2 \right) - s^2 = 0$$Jetzt noch die Lagrange-Funktion aufstellen usw.$$\begin{aligned} L &= h-z+4s + \lambda(z^2 + \left( \frac d2 \right) - s^2) \\ L_z &= - 1 + 2\lambda z = 0 \\ L_s &= 4 - 2\lambda s = 0 \\ \implies 4z &= s\end{aligned}$$D.h. das Minimum ist dann erreicht, wenn \(z\) ein Viertel der Entfernung zu einem der Eckpunkte ist. Setzt man dies in die Nebenbedingung ein, so erhält man natürlich das identische Ergebnis wie oben.

Damit liegt auch der Winkel zwischen der Senkrechten und einer Verbindung zu den Eckpunkten mit \(\approx 104,5°\) fest. Und das gänzlich unabhängig von den Abmessungen der Pyramide.

Wären es nur zwei gegenüberliegende Eckpunkte, so wäre das Verhältnis \(z\div s =1\div2\) und dieser Winkel \(120°\). Was absolut Sinn macht; siehe dazu Fermat-Punkt.