Müsste dann die Vektorfrom so aussehen?

Question

Aufgabe:

Drei Punkte A,B und C bestimmen eine Ebene. Schreibe die Gleichung dieser Ebene in der Vektorform und Koordinatenform auf.

A (2; -1; 3)

B (1; 1; 4)

C (-2; 0; 1)

Problem/Ansatz:

Müsste dann die Vektorfrom so aussehen?

E: x= \( \begin{pmatrix} 2\\-1\\3 \end{pmatrix} \) + s \( \begin{pmatrix} 1\\1\\4 \end{pmatrix} \) + t \( \begin{pmatrix} -2\\0\\1 \end{pmatrix} \)

Wäre der nächste Schritt dann das Kreuprodukt davon zu bilden?

Answer 1

Es gibt viele richtige Ebenengleichungen. Deine ist nicht darunter. Stattdessen muss es heißen:                                                 \( \begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix} \)=\( \begin{pmatrix} 2\\-1\\3 \end{pmatrix} \)+s·\( \begin{pmatrix} -1\\2\\1 \end{pmatrix} \)+t·\( \begin{pmatrix} -4\\1\\-2 \end{pmatrix} \).

Die Richtungsvektoren sind hier \( \vec{AB} \) und \( \vec{AC} \).

Dann die Ebenengleichung mit den Kreuzprodukt \( \begin{pmatrix} -5\\-6\\7 \end{pmatrix} \) durchmultiplizieren. Dann entsteht die Koordinatenform.

Answer 2

Für die Richtungsvektoren brauchst du die

Differenzen B-A und C-A.

E: x= \( \begin{pmatrix} 2\\-1\\3 \end{pmatrix} \) + s \( \begin{pmatrix} -1\\2\\1 \end{pmatrix} \) + t \( \begin{pmatrix} -4\\1\\-2 \end{pmatrix} \)

Answer 3

Du darfst nicht Punkt B und C als Richtungsvektoren nehmen

E: X = A + r·AB + s·AC

E: X = [2, -1, 3] + r·[-1, 2, 1] + s·[-4, 1, -2]

Jetzt Kreuzprodukt bilden

N = [-1, 2, 1] ⨯ [-4, 1, -2] = [-5, -6, 7] = -[5, 6, -7]

Jetzt die Ebene in Koordinatenform aufstellen

E: X·[5, 6, -7] = [2, -1, 3]·[5, 6, -7]

E: 5·x + 6·y - 7·z = -17