Tangente an Funktion in einem Punkt

Question

Aufgabe:

Tangente an Funktion im Punkt Q

Problem/Ansatz:

Habe als Bild eine Aufgabe aus der Analyses mit Lösung. Die erste Teilaufgabe ist schnell und einfach. Der zweite Teil erschließt sich mir jedoch trotz vorhandener Lösung nicht.

Hoffe ihr könnt mir helfen.

LG :)

Quelle: www.iqb.hu-berlin.de/abitur/pools2018/abitur/pools2018/mathematik/erhoeht/2018_M_erhoeht_A_8.pdf

Answer 1

Eine Gerade, die mit den Achsen ein gleichschenkliges Dreieck

bildet, hat gleiche Abschnitte auf der x und der y-Achse,

also Steigung m = -1 .   Q liegt ja im ersten Quadranten.

Die Tangente in Q hat also  die Steigung f ' (u) = - 1 .

 <=>    -8 / u^3 = - 1

<=>            u^3 = 8

 <=>        u = 2.  [ 1. Koordinate von Q )

und die zweite Koordinate also f(u) = f(2) = 1

Comments

Danke dir!

:)

Answer 2

Graphisch erkenne ich die Tangente mit der Gleichung t(x)= - x + 3. Dann prüfe ich, ob f(x)=t(x) genau eine positive, reelle Lösung hat. Dabei erhalte ich die kubische Gleichung         -x³+3x²-4=0, deren erste Lösung ich durch Raten finde. Einzige positive Lösung ist u=2. Und f(2)=1.

Answer 3

Ich zeige erst eine Tangentengleichung mit festem Q:

f(x)=\( \frac{4}{x^2} \)   → f ´ (x )=-\( \frac{8}{x^3} \)

Q(1|4)
Tangentengleichung in (1|4):
f ´ (1 )=-\( \frac{8}{1^3} \) =-8

\( \frac{y-4}{x-1} \) =-8

y=-8x+12

Nun mit variablem Q:
Q(u |f(u))

f(u)=\( \frac{4}{u^2} \)   → f ´ (u)=-\( \frac{8}{u^3} \)

Tangentengleichung in (u|\( \frac{4}{u^2} \) ):

Text erkannt:

\( \frac{y-\frac{4}{u^{2}}}{x-u}=-\frac{8}{u^{3}} \)
\( y=-\frac{8}{u^{3}} \cdot x+\frac{12}{u^{2}} \)
Nullstelle: \( \rightarrow y=0 \)
\( -\frac{8}{u^{3}} \cdot x+\frac{12}{u^{2}}=0 \)
\( -\frac{8}{u^{3}} \cdot x=-\frac{12}{u^{2}} \mid \cdot(-1) \)
\( \frac{8}{u^{3}} \cdot x=\frac{12}{u^{2}} \mid \cdot \frac{u^{3}}{8} \)
\( x=\frac{12}{u^{2}} \cdot \frac{u^{3}}{8}=\frac{3}{2} u \)
Schnitt mit der y-Achse : \( \rightarrow x=0 \)
\( y=\frac{12}{u^{2}} \)
Da nun ein gleichschenkliges Dreieck entstehen soll, muss \( y=x \) sein
\( \frac{12}{u^{2}}=\frac{3}{2} u \)
\( u=2 \)
\( f(2)=\frac{4}{4}=1 \)