Eine Gleichung für die Tangente an den Graphen in einem Punkt bestimmen

Question

Aufgabe:

Sei \( f: \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}, f(x)=\frac{\sin (x)+1}{\exp (x)+1} . \) Bestimmen Sie eine Gleichung
für die Tangente an den Graphen im Punkt \( (0, f(0)) \)

Answer 1

$$ y=\frac{\operatorname{sin}(x)+1}{e^{x}+1} \quad P(0, f(0) $$
a) 1 . Ableitung
$$ y^{\prime}=\frac{\left(e^{x}+n\right) \cos (x)-e^{x}(\sin(x)+1)}{\left(e^{x}+1\right)^{2}} $$
b) \( \quad y^{\prime}(0)=m \)
$$ y^{\prime}(0)=\frac{1}{4} $$
c) 0 in die Aufgabe einsetzen:
$$ y=\frac{\sin(0)+1}{e^{0}+1}=\frac{1}{2} $$
d) \( y=mx + b \)
\( \frac{1}{2}=y=\frac{1}{4} \cdot 0+b \)
\( \Rightarrow b=\frac{1}{2} \quad \Rightarrow y=\frac{1}{4} x+\frac{1}{2} \)

Answer 2

f(x) = (SIN(x) + 1)/(EXP(x) + 1)

f'(x) = (e^x·(COS(x) - SIN(x) - 1) + COS(x))/(e^x + 1)^2

a = 0

f(0) = 1/2

f'(0) = 1/4

t(x) = f'(0) * (x - 0 ) + f(0) = 1/4 * (x - 0) + 1/2 = 1/4 * x + 1/2