Wie kann man den Wert der Reihe aus dem Wert von geometrischen Reihen berechnen?: ∑(n(n+1))/3^n

Question

Aufgabe über den Wert einer Reihe:

\( \sum \limits_{n=0}^{\infty} \dfrac{n \cdot(n+1)}{3^{n}} \)

Ich weiss nicht, wie ich eine geometrische Reihe daraus bekommen kann.

Answer 1

laut geometrischer Reihe gilt für \(|x|<1\)$$\sum_{n=0}^\infty x^n=\frac1{1-x}.$$Zweimaliges Ableiten liefert$$\sum_{n=2}^\infty (n-1)\cdot n\cdot x^{n-2}=\frac2{(1-x)^3}.$$Umnummerieren$$\sum_{n=1}^\infty n\cdot (n+1)\cdot x^{n-1}=\frac2{(1-x)^3}.$$Multipliziere mit \(x\)$$\sum_{n=1}^\infty n\cdot (n+1)\cdot x^n=\frac{2x}{(1-x)^3}.$$Setze nun \(x=\frac13\).

Comments

Vielen Dank für diese Antwort.


Ist dies ein bekannter Trick oder ein formeller Lösungsweg? Oder gibt es vielleicht einen anderen Lösungsweg?


Mein Professor hat das heute in einer Prüfung gefragt und einen solchen oder ähnlichen Lösungsweg habe ich noch nie gesehen.


Gruss

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Es gibt sicher weitere Lösungsansätze. Beispielsweise könnte man per Induktion über \(N\) zeigen, dass für die entsprechenden Partialsummen gilt$$\sum_{n=1}^N\frac{n(n+1)}{3^n}=\frac94-\frac{2N^2+8N+9}{4\cdot3^N}.$$Dieser Ansatz macht es aber auch nicht leichter und ist wohl auch weniger offensichtlich. Ein formeller Lösungsweg ist die Methode mit der Ableitung allemal.

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https://www.mathelounge.de/74286/abwandlung-der-geometrischen-reihe

Hier gab's mal eine kurze Diskussion zu dieser Methode.