Variablensubstitution U ni

Question

Aufgabe: Lösen Sie anhand von Variablensubstitution und Lagrange Methode

f(x,y)=x+2y -> Zielfunktion

      =x^2+y^2=5 -> Nebenbedingung

Problem/Ansatz: Hallo

Ich habe die Lagrange Funktion bereits ausgerechnet und die Bestätigung meines Professors bekommen, das diese richtig sei.

Jedoch komme ich mit der Variablensubstitution gar nicht klar... Ich hab die NB schon umgestellt (y^2=5-x^2) aber weiß jetzt nicht ob man die Wurzel ziehen muss oder nicht. Hab beides einmal ausprobiert. Die Wurzel zu ziehen bringt mich bei den Ableitungen auf ein sehr kleines Ergebnis, welches auf keinen Fall richtig sein kann. Ohne die Wurzel zu ziehen komme ich zwar auf 1/4 aber ich müsste dann daraus die Wurzel ziehen um auf die Ergebnisse -1/2 und 1/2 zu kommen.

Ich steh echt auf dem Schlauch...

Im Voraus Danke für die Hilfe :)

LG Lumi

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Answer 1

Text erkannt:

\( f(x, y)=x+2 y \rightarrow \) Zielfunktion
\( x^{2}+y^{2}=5 \rightarrow \) Nebenbedingung
\( y^{2}=5-x^{2} \)
1.) \( y=\sqrt{5-x^{2}} \)
\( f(x)=x+2 \cdot \sqrt{5-x^{2}}=x+\sqrt{20-4 x^{2}} \)
\( f \cdot(x)=1+\frac{-8 x}{2 \cdot \sqrt{20-4 x^{2}}}=1-\frac{4 x}{\sqrt{20-4 x^{2}}} \)
\( 1-\frac{4 x}{\sqrt{20-4 x^{2}}}=0 \)
\( \sqrt{20-4 x^{2}}=\left.4 x\right|^{2} \)
\( 20-4 x^{2}=16 x^{2} \)
\( 20 x^{2}=20 \rightarrow \rightarrow x^{2}=1 \)
\( x_{1}=1 \)
\( x_{2}=-1 \)
\( y=\sqrt{5-1}=2 \)
2.) \( y=-\sqrt{5-x^{2}} \) mit \( x^{2}=1 \)
\( y=-\sqrt{4}=-2 \)
\( f(x, y)=x+2 y \)
\( f(1,2)=1+4=5 \)
\( f(-1,-2)=-1-4=-5 \)

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Vielen Vieeeelen Liebe Dank !!!

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eine Frage hätte ich noch zu der Ableitung, also die erste ohne vorher *2 gerechnet zu haben.. Wie kommt man auf 20?

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2*\( \sqrt{5-x^2} \)=\( \sqrt{4*(5-x^2)} \)=\( \sqrt{20-4x^2} \)