Wie finde ich die Abstände von P und Q zur Ebene?

Question

Aufgabe:

gegeben ist die Koordinatenform der Ebene E

E: 3x + 2y - 4z + 1 = 0

gesucht sind die Abstände von P und Q zur Ebene

Problem/Ansatz:

Kann mir jemand erklären, wie man diese Aufgabe löst, bitte?

Answer 1

Bilde eine Gerade durch P ( und dann durch Q) mit dem Normalenvektor

der Ebene (3;2;-4)^T als Richtungsvektor.

Schneide diese mit der Ebene un d du erhältst den

Lotfußpunkt L. Die Länge der Strecke PL ist ist

der Abstand von P zu E.

Andere Möglichkeit wäre: "Hesse-Normalenform"

Answer 2

Aloha :)

Wähle einen beliebigen Punkt \(A\) innerhalb der Ebene, z.B. \(A(1|0|1)\).

Bilde den Vektor von \(A\) zu deinem Punkt \(P\),also \(\overrightarrow{AP}=\vec p-\vec a\).

Projeziere diesen Vektor \(\overrightarrow{AP}\) auf den Normalenvektor \(\vec n\coloneqq\begin{pmatrix}3\\2\\-4\end{pmatrix}\) der Ebene:$$d=\frac{\left|\overrightarrow{AP}\cdot\vec n\right|}{\|\vec n\|}=\frac{\left|\left(\vec p-\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}\right)\cdot\begin{pmatrix}3\\2\\-4\end{pmatrix}\right|}{\sqrt{3^2+2^2+(-4)^2}}=\frac{\left|\begin{pmatrix}3\\2\\-4\end{pmatrix}\cdot\vec p+1\right|}{\sqrt{29}}$$

Den gesuchten Abstand \(d\) findest du durch Einsetzen von \(\vec p\).