Berechnen Sie die Querschnittsfläche des Windkanals!

Question

Text erkannt:

3. Aufgabe Windkanal
Um die aerodynamischen Eigenschaften von Flugzeugen (Modellen) zu testen sind spezielle Windkanäle erforderlich. Dabei spielt der Querschnitt dieser Kanäle für eine optimale Simulation von Luftströmungen eine wesentliche Rolle. Die Randbegrenzung eines modernen Windkanals lässt sich zusammengesetzt aus zwei Teilstücken jeweils eines quadratischen Funktionsgraphen beschreiben (siehe Skizze). Die Gesamtbreite beträgt \( 25 \mathrm{~m} \); die Höhe \( \mathrm{h}_{1} \) beträgt \( 12 \mathrm{~m} \); die Höhe des unteren Querschnittbereiches \( \mathrm{h}_{2} \) ist \( 3 \mathrm{~m} \)
Berechnen Sie die Querschnittsfläche des Windkanals!
- Erstellen Sie zunächst eine eigene Skizze, aus der die Lage der beiden Funktionsgraphen hinsichtlich des von lhnen gewählten Koordinatensystems ersichtlich wird.
- Beschreiben Sie anschließend Ihren gewählten Lösungsweg.
- Führen Sie die Berechnungen aus.

Answer 1

Du musst vorab aus den gegebenen Information zwei Funktionsgleichungen bilden. Dabei handelt es sich hier um Parabeln, also Funktionen zweiten Grades.

Die allgemeine Form lautet f(x)=ax²+bx+c.

Für die obere Funktion gilt:

1. Länge von 25m, also Nullstellen bei x=−12,5 v x=12.5

2. Höhe 12m, also Y-Achsenabschnitt bei 12

Daraus folgen dann die 3 Bedingungen:

(i) f(−12,5)=0 ⇒ 156,25a−12,5b+c=0

(ii) f(12,5)=0 ⇒ 156,25a−12,5b+c=0

(iii) f(0)=12 ⇒ c=12

Diese 3 Bedingungen kann man dann in einem LGS lösen und erhält       a= −\( \frac{48}{625} \)und c=12

unsere obere Parabel kann also mit folgender Funktionsgleichung beschrieben werden

f(x)=−\( \frac{48}{625} \)x²+12.

Das gleiche nun für die untere Parabel. Die allgemeine Form dafür lautet wieder g(x)=ax²+bx+c.

Für die untere Funktion gilt:

1. Länge von 25m, also Nullstellen bei x=−12,5 v x=12.5

2. Höhe von 3m, Y-Achsenabschnitt bei -3 (muss unterhalb der x-Achse liegen, deshalb -3, siehe dafür Skizze)

Daraus folgen dann die 3 Bedingungen:

(i) f(−12,5)=0 ⇒ 156,25a−12,5b+c=0

(ii) f(12,5)=0 ⇒ 156,25a+12,5b+c=0

(iii) f(0)=-3 ⇒ c=-3

Diese 3 Bedingungen kann man dann in einem LGS lösen und erhält a=\( \frac{12}{625} \) und c=-3

unsere untere Parabel kann also mit folgender Funktionsgleichung beschrieben werden

g(x)=\( \frac{12}{625} \)x²−3.

Da wir nun unsere beiden Funktionsgleichungen haben, brauchen wir für die Flächenberechnung zunächst die beiden Schnittpunkte der beiden Funktionen. Dafür musst du −\( \frac{48}{625} \)x²+12 = \( \frac{12}{625} \)x²−3 nach x auflösen.

Dann berechnest du \( \int\limits_{SP1}^{SP2} \) (f(x)-g(x))dx, wobei SP1 und SP2 für die Schnittpunkte der beiden Funktionen stehen.