Hallo Olivia,
zunächst mal ist zu klären, was Konvergenzgeschwindigkeit überhaupt ist. Bei einem nummerischen Verfahren wie dem Newton-Verfahren ist man natürlich daran interessiert, dass die Folge von \(x_n\) möglichst schnell gegen den Grenzwert \(x^*\) läuft, den man finden möchte.
Diese 'Geschwindigkeit' wird jetzt nicht in Kilometer pro Stunde gemessen, wie beim Auto oder Fahrrad, sondern (ganz grob) wird zwischen linearer und quadratischer und höherer Konvergenz(geschwindigkeit) unterschieden.
Eine quadratische Konvergenzgeschwindigkeit wird erreicht, wenn es einen konstanten Wert \(c\) gibt, für den gilt$$|x_{n+1} - x^*| \le c \cdot |x_n - x^*|^2$$Für die Funktion \(f(x)=\arctan(x)\) ist die Nullstelle und damit der Grenzwert \(x^*\) bekannt \(x^*=0\). Ich habe die Tabelle aus der Frage links noch um die Werte \(x_n\) erweitert. Das sind jeweils die Werte, die das Newtonverfahren liefert, wenn man beim Startwert \(x_0=1\) beginnt. Wie schon in Deiner letzten Frage. $$\begin{array}{r|c|rr}x_n& n& |x_{n+1} - x^*|& |x_n-x^*|^2& \le c\\\hline 1& 0& 0.570796327& 1& 0.571\\ -0.570796327& 1& 0.116859904& 0.325808447& 0.359\\ 0.116859904& 2& 0.001061022& 0.013656237& 0.078\\ -0.001061022& 3& 7.9631E-10& 1.12577E-06& 0.001\\ 7.9631E-10& 4& 0& 6.34109E-19& 0\end{array}$$Die nächsten beiden Spalten nach der Spalte mit dem \(n\) zeigen die Terme \(|x_{n+1}-x^*|\) und \(|x_n-x^*|^2\). Wenn die Konvergenzgeschwindigkeit quadratisch ist, dann muss für den Quotienten aus diesen Termen gelten:$$\frac{|x_{n+1}-x^*|}{|x_n-x^*|^2} \le c$$Nun kann man sehen, dass dieser Quotient immer kleiner wird. Das heißt, wenn wir für \(c\) einfach \(c=1\) (oder auch \(c=0,6\)) einsetzen, dann ist diese Bedingung $$|x_{n+1} - x^*| \le 1 \cdot |x_n - x^*|^2, \quad \quad x_0=1, \space f(x)=\arctan(x)$$immer erfüllt. Das sieht man ja auch in der Tabelle, der Wert für \(|x_{n+1} - x^*|\) ist in jeder Zeile kleiner als der bei \(|x_n - x^*|^2\). Das entspräche einem \(c=1\).
Also ist die Konvergenzgeschwindigkeit des Newton-Verfahrens beim \(\arctan\) quadratisch.
Ich meine, dass das Newton-Verfahren bei den meisten (üblichen) Funktionen quadratisch konvergiert. Wenn noch etwas unklar ist, so stelle möglichst konkrete Fragen. Oder schreibe ganz gezielt, was Du nicht verstehst.
