Aloha :)
Willkommen in der Mathelounge... \o/
Ich schlage das Gauß-Verfahren zur Lösung vor. Dazu schreiben wir das Gleichungssystem tabellarisch auf und formen so um, dass wir in jeder Spalte genau eine \(1\) und sonst nur \(0\)en stehen haben:
$$\begin{array}{rrr|r|l}x & y & z & = &\text{Umformung}\\\hline2 & 3 & -2 & 10&-2\cdot Z_2\\1 & 2 & 4 & -9&\\5 & 9 & a & 4&-5\cdot Z_2\\\hline0 & -1 & -10 & 28 &\cdot\,(-1)\\1 & 2 & 4 & -9 &+2\cdot Z_1 \\0 & -1 & a-20 & 49 & -Z_1\\\hline0 & 1 & 10 & -28 &\\1 & 0 & -16 & 47 &\\ 0 & 0 & a-10 & 21\end{array}$$Für \(a=10\) hat das Gleichungssystem keine Lösung, weil dann die letzte Gleichung$$0\cdot x+0\cdot y+0\cdot z=21$$immer falsch wäre. Sei also im Folgenden \(a\ne10\):
$$\begin{array}{rrr|r|l}x & y & z & = &\text{Umformung}\\\hline0 & 1 & 10 & -28 &+Z_3\\1 & 0 & -16 & 47 &\\ 0 & 0 & a-10 & 21 & :(a-10)\\\hline0 & 1 & a & -7 &-a\cdot Z_3\\1 & 0 & -16 & 47 &+16\cdot Z_3\\ 0 & 0 & 1 & \frac{21}{a-10} &\\\hline0 & 1 & 0 & -7-\frac{21a}{a-10} &\\[1ex]1 & 0 & 0 & 47+\frac{336}{a-10} &\\[1ex] 0 & 0 & 1 & \frac{21}{a-10} &\end{array}$$
Wir lesen daraus als Lösung für \(a\ne10\) ab:
$$\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\left(\begin{array}{c}47+\frac{336}{a-10}\\[1ex]-7-\frac{21a}{a-10}\\[1ex]\frac{21}{a-10}\end{array}\right)=\frac{1}{a-10}\left(\begin{array}{c}47a-470+336\\[1ex]-7a+70-21a\\[1ex]21\end{array}\right)=\frac{1}{a-10}\left(\begin{array}{c}47a-134\\[1ex]14(5-2a)\\[1ex]21\end{array}\right)$$
