Integral zw. Graph und Koordinantenachse

Question

Aufgabe:

Gegeben ist die Exponentialfunktion durch die Gleichung h(x)=-4e^(0,5x-3)+4 mit Dh = R. Der Graph der Funktion heißt Gh.

Berechne die Nullstelle der Funktion h.

Ermitteln des Inhaltes der Fläche, die vom Graphen Gh und den Koordinatenachsen vollständig begrenzt wird.

Problem/Ansatz:

Integralrechnung Fläche zwischen Graph und Koordinatenachsen

Answer 1

Aloha :)

Willkommen in der Mathelounge... \o/

zu a) Wir bestimmen zuerst die Nullstelle:

$$\left.h(x)=0\quad\right|\text{Funktion einsetzen}$$$$\left.-4e^{0,5x-3}+4=0\quad\right|-4$$$$\left.-4e^{0,5x-3}=-4\quad\right|:\,(-4)$$$$\left.e^{0,5x-3}=1\quad\right|\ln(\cdots)$$$$\left.0,5x-3=0\quad\right|+3$$$$\left.0,5x=3\quad\right|\cdot2$$$$\left.x=6\quad\right.$$Die Nullstelle liegt also bei \((6|0)\).

~plot~ -4*exp(0,5x-3)+4 ; [[-1|7|-2|4]] ~plot~

zu b) Die gesuchte Fläche finden wir daher mit dem Integral

$$F=\int\limits_0^6h(x)\,dx=\int\limits_0^6\left(-4e^{0,5x-3}+4\right)dx=\left[\frac{-4e^{0,5x-3}}{0,5}+4x\right]_0^6=\left[4x-8e^{0,5x-3}\right]_0^6$$$$\phantom{F}=\left(24-8e^0\right)-\left(-8e^{-3}\right)=16+\frac{8}{e^3}\approx16,3983$$