Stetige Funktion mit f(x+y) = f(x)f(y) mit Konstante λ

Question

Eine stetige Funktion f : R → R erfülle ∀x,y∈R  f(x+y) = f(x)f(y). Zeigen Sie, dass dann entweder f(x) =0 fürr alle x gilt oder eine Konstante λ ∈ R mit f(x) = e^{λx} für alle x ∈ R existiert.

Answer 1

1. Fall: Es existiert ein x₀ so, dass f(x₀)=0 ist. Dann f(x) = f(x-x₀+x₀)= f(x-x₀) f(x₀) = 0, also f ist identisch Null (0 ist stetig), sobald es an einer stelle Null werden kann.

2. Fall: Fuer alle x ∈ R: f(x)≠ 0 z.B. f(x) = e^λx  stetig, dann ist f(x+y) = e^λ(x+y) = e^λxe^λy = f(x) f(y) für alle λ ∈ R.