Bestimmen Sie die Lösungsmenge des folgenden Systems simultaner Kongruenzen:
x ≡ 2 mod 3
x ≡ 3 mod 11
x ≡ 2 mod 7
Ich weiss nicht ob es richtig ist, aber ich hab damit angefangen, erst ein mal alle Zahlen x ∈ ℤ zu berechnen:
Beweis:
Wenn x ≡ 2 mod 3, dann ist x = 3a +2 für alle a ∈ ℤ.
Wir haben:
3a + 2 ≡ 3 mod 11
3a ≡ 1 mod 11
wegen 3-1 = 3 mod 11, folgt:
a ≡ 3 mod 11
Somit ist a = 11b +3 für alle b ∈ ℤ.
Dann ist:
x = 3a + 2
x = 3 (11b+3) +2 = 33b + 11 =x
Einsetzen in die letzte Kongruenz:
33b + 11 ≡ 2 mod 7
33b ≡ -9 mod 7
33b ≡ 5 mod 7
wegen 33-1 ≡ 33 mod 7 ⇔ 5 mod 7
b ≡ 25 mod 7
b ≡ 4 mod 7
Dann ist b = 7c +4 für alle c ∈ ℤ
x = 33 (7c + 4) +11 = 231c +143
D.h. Für alle x = 231c +143 sind die drei Kongruenzen erfüllt, also noch angabe der Lösungsmenge, dafür setzte ich jetzt beliebige c ein? Zum Beispiel ...,-1,0,1,... also für die Lösungsmenge:
L = { ..., -88, 143, 374, ... }
ist das Richtig wie ich das gemacht habe? Bzw. darf ich selbst entscheiden, das ich die Lösungsmenge für x ∈ ℤ angeben möchte, wenn es nicht explizit in der Aufgabe steht?
