Wie hoch ist der Einsatz von Faktor K im Kostenminimum?

Question

Aufgabe:in Unternehmen weist folgende Produktionsfunktion F(K,L) mit den Inputfaktoren K für Kapital und L für Arbeit auf...

Problem/Ansatz: Kann mir jemand helfen ;)

Text erkannt:

Ein Unternehmen weist folgende Produktionsfunktion \( F(K, L) \) mit den inputfaktoren \( K \) für Kapital und \( L \) für Arbeit auf
$$ F(K, L)=K^{0.7}+L $$
Der Preis für eine Einheit Kapital beträgt \( p_{K}=0.75 \) und der Preis fur eine Einheit Arbeit betrăgt \( p_{L}=10 . \) Minimieren Sie die Kosten des Unternehmens unter Berücksichtigung seiner Produktionsfunktion, wenn ein Output von 260 ME produziert werden soll.
a. Wie hoch ist der Einsatz von Faktor \( K \) im Kostenminimum?
b. Wie hoch ist der Einsatz von Faktor \( \boldsymbol{L} \) im Kostenminimum?
c. Welchen Wert hat der Lagrange-Multiplikator \( \lambda \) im Kostenminimum?
d. Wie hoch sind in diesem Fall die minimalen Kosten?

Answer 1

Aloha :)

Wir sollen die Kostenfunktion \(C(K;L)\) unter einer Nebenbedingung \(F(K;L)=\text{const}\) optimieren:$$C(K;L)=0,75K+10L\quad;\quad F(K;L)=K^{0,7}+L=260$$

Nach Lagrangen muss der Gradient der zu optimierenden Funktion eine Linearkombination der Gradienten aller Nebenbedingungen sein. Hier haben wir nur eine Nebenbedingung, sodass:$$\operatorname{grad}C(K;L)=\lambda\cdot\operatorname{grad}F(K;L)\quad\implies\quad\binom{0,75}{10}=\lambda\binom{0,7K^{-0,3}}{1}$$

Aus der zweiten Koordinatengleichung \(10=\lambda\cdot1\) folgt sofort \(\boxed{\lambda=10}\).

Damit folgt aus der ersten Koordinatengleichung:$$0,75=10\cdot0,7K^{-0,3}=7K^{-0,3}\implies K^{-0,3}=\frac{0,75}{7}\implies K=\left(\frac{0,75}{7}\right)^{-\frac{1}{0,3}}$$$$\implies \boxed{K\approx1711,8114}$$

Das in die Nebenbedingung eingesetzt liefert uns$$K^{0,7}+L=260\implies L=260-K^{0,7}\implies \boxed{L\approx76,5916}$$

Das Kostenminimum in diesem Punkt ist:$$C_{\text{min}}=C(1711,8114;76,5916)\implies \boxed{C_\text{min}\approx2049,77}$$