Surjektive Matrix Abbildung

Question

Aufgabe:

K ist ein Körper, B∈K^m,n  eine Matrix mit g: Kⁿ →K^m    y↦By   und g ist eine injektive Abbildung.

man muss zeigen: die Abbildung h: K^m →Kⁿ   z↦B^tz   ist surjektiv.

Problem/Ansatz:

Ich habe eigentlich gar keine Ahnung, wie ich anfangen soll.

Es wäre schön, wenn jemand Idee hat oder ein paar Tipp geben könnte.

Mit freundlichen Grüßen

Answer 1

Aloha :)

Eine Matrix \(A\in K^{m\times n}\) ist genau dann injektiv, wenn ihr Rang (=Dimension des Bildes) gleich dem Spaltenrang \(n\) ist (=Anzahl linear unabhängiger Spaltenvektoren).

Eine Matrix \(A\in K^{m\times n}\) ist genau dann surjektiv, wenn ihr Rang (=Dimension des Bildes) gleich dem Zeilenrang \(m\) ist (=Anzahl linear unabhängiger Zeilenvektoren).

Wenn \(B\in K^{m\times n}\) injektiv ist, ist ihr Spaltenrang \(n\) gleich dem Rang der Matrix. Transponiert man die Matrix zu \(B^T\in K^{n\times m}\), so ist ihr Zeilenrang \(n\) gleich dem Rang der Matrix. Also ist \(B^T\) surjektiv.

Comments

vielen Dank,

sind sehr ausführlich.

MfG