Veränderliche - Extrempunkte beweisen

Question

Aufgabe:

Zeigen Sie, dass die Funktion f(x,y) = x² + xy + y² − x²y² im Punkt P = (0,0) einen Extrempunkt besitzt.

Entscheiden Sie, ob es sich bei P um ein lokales Maximum, lokales Minimum oder einen
Sattelpunkt handelt

Answer 1

Aloha :)

Im Extremum muss der Gradient verschwinden:$$\binom{0}{0}\stackrel!=\binom{2x+y-2xy^2}{x+2y-2x^2y}$$Wir rechnen leicht nach, dass im Punkt $(0|0)$ diese Bedingung erfüllt ist.

Ob in $(0|0)$ ein Extremum vorliegt und von welcher Art dieses ist, untersuchen wir mit der Hesse-Matrix:

$$H(x;y)=\left(\begin{array}{rr}2-2y^2 &1-4xy\\1-4xy & 2-2x^2\end{array}\right)\quad\implies\quad H(0;0)=\left(\begin{array}{rr}2&1\\1& 2\end{array}\right)$$Die Summe der Eigenwerte ist die Spur der Matrix, und das Produkt der Eigenwerte ist die Determinante der Matrix:$$\lambda_1+\lambda_2=4\quad;\quad \lambda_1\cdot\lambda_2=3$$Wir haben daher die Eigenwerte $\lambda_1=3$ und $\lambda_2=1$, die beide positiv sind. Die Hesse-Matrix ist daher im Punkt $(0|0)$ postitiv definit, sodass dort ein lokales Minimum vorliegt.

Comments

Danke für deine Antwort! :)

Kurze Frage noch: Wann kann man denn von einem Sattelpunkt sprechen bzw. wann ist es denn einer?

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An der Hesse-Matrix kannst du einiges ablesen:

1) Ist die Hesse-Matrix positiv definit, handelt es sich um ein Minimum.

2) Ist die Hesse-Matrix negativ definit, handelt es sich um ein Maximum.

3) Ist die Hesse-Matrix indefinit, so handelt es sich um einen Sattelpunkt.

4) Ist die Hesse-Matrix positiv semidefinit, so handelt es sich um ein Minimum oder einen Sattelpunkt.

5) Ist die Hesse-Matrix negativ semidefinit, so handelt es sich um ein Maximum oder einen Sattelpunkt.

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Vielen Dank! :)