Integralrechnung Parameter bestimmen

Question

Aufgabe:

Hallo,

ich habe folgende Aufgabe:

Für jedes t>0 ist eine Funktion f_t gegeben durch f_t(x)= x²—t²

Bestimmen sie A(t) in Abhängigkeit von t. Für welches t beträgt der Flächeninhalt 36 FE.

Problem/Ansatz:

Lösung laut Buch sollte 4/3t³=36 daraus folgt t=3 sein, wobei die Untergrenze –t und die Obergrenze t ist.

Leider kann ich die Lösung nicht ganz nachvollziehen.

Mit freundlichen Grüßen

Answer 1

Hallo,

berechne zunächst die Nullstellen für die Intervallgrenzen

\(x^2-t^2=0\\x^2=t^2\\x=\pm t\)

Stammfunktion \(F(x)=\frac{1}{3}x^3-t^2x\)

\(F(t)=\frac{1}{3}t^3-t^3=-\frac{2}{3}t^3\\ F(-t)=\frac{1}{3}(-t)^3+t^3=\frac{2}{3}t^3\\\\ A(t)=F(t)-F(-t)=\big|-\frac{2}{3}t^3-\frac{2}{3}t^3\big|=\frac{4}{3}t^3\\[15pt] \frac{4}{3}t^3=36\\t^3=27\\t=3\)

Gruß, Silvia

Comments

Vielen Dank für die anschauliche Antwort. Habe es jetzt verstanden :).

Wünsche dir und den anderen, die hier geantwortet haben ein angenehmes Wochenende.

Answer 2

f(x)= x^2 - t^2

Wegen Symmetrieachse x=0

A = 2*\( \int\limits_{0}^{t} \)(x^2 - t^2)*dx=2*[ \( \frac{1}{3} \)x^3-t^2*x] in den angegebenen Grenzen: 2*[ \( \frac{1}{3} \)*t^3- t^3 ]=2*[-\( \frac{2}{3} \) t^3]

36=2*[-\( \frac{2}{3} \) t^3]

18=[-\( \frac{2}{3} \) t^3]

t^3=-27

t=-3

f(x)= x^2 - (-3)^2=x^2-9

Answer 3

Wegen Symmetrie zur y-Achse

\( \int\limits_{0}^{t} \) (x2 - t2) dx= -\( \frac{2t^3}{3} \)

-\( \frac{2t^3}{3} \)=18

t=-3