Parameter bei Integralrechnung. f(x)= x^3 - a^2 x, a>0. Eingeschlossener Flächeninhalt ist 4.

Question

Gegeben ist f (x)= x^3 - a² x, a>0. Wie muss a gewählt werden, damit die beiden von f und der x-Achse eingeschlossenen Flächen jeweils den Inhalt 4 haben?

Wie bekommt man die nullstellen?

Danke:)

Answer 1

Hallo Samira,

f (x)= x³ - a² x = 0       Wie bekommt man die Nullstellen?

x ausklammern:

⇔  x • (x² - a²) = 0 

 ⇔ x • (x -a) • (x + a) = 0                                [ 3. binomische Formel ]

  x₁ = 0  ,   x₂ = a  ,   x₃ = - a                         [ Nullproduktsatz ]

Gruß Wolfgang

Comments

Danke:)

ich habe weiter gerechnet und habe für a = 2,236 erhalten. Könntest du mir vielleicht sagen ob das stimmt?

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Da die Funktion für jedes a∈ℝ⁺ symmetrisch zum Ursprung ist (nur ungerade Exponenten von x), stimmen die beiden Flächen für jedes a überein.

Da der Graph für positive x unterhalb der x-Achse verläuft, wird für die rechte Fläche das Integral gleich dem negativen Flächeninhalt :

Ich erhalte  ₀∫^a f(x) dx =  a⁴/4 - 2·a² = - 4  

⇔ a⁴ - 8a² + 16 = 0  ⇔  (a² - 4)² = 0  ⇔  a² - 4 = 0  ⇔  a² = 4

→   a  = ± 2  ( -2 entfällt, da a> 0 ) , also a = 2