Aufgabe: Konvergenz einer rekursiven Folge und den Grenzwert berechnen.
\( a_{1}=1, a_{n}=\sqrt{2 a_{n-1}} \) für \( n=2,3,4, \ldots \)
Problem/Ansatz:
Ich habe ausgerechnet, dass die Folge gegen 2 konvergiert. Als nächstes würde ich dann eine vollständige Induktion durchführen, um die Beschränktheit heraus zubekommen.
1. Behauptung: an < 2 für n ≥ 2.
IA: n = 2 ; a2 = \( \sqrt{2*1} \) =\( \sqrt{2} \) < 2. ✓
IS: (wir zeigen an < 2 ⇒ an+1 < 2)
an < 2 ⇒ an -2 < 0. (Ich weiß hier nicht, ob ich noch auf dem richtigen Weg bin) (Jetzt muss ich doch irgendwie umformen, sodass ich wieder die Ausgangsform an herausbekomme. Aber da habe ich gerade noch meine Schwierigkeiten)
Ich könnte mir vorstellen, dass man noch a * 2 rechnen muss, damit man auf die Zwei kommt.
Dann hätte man 2an -4 < 0. Das dann umstellen, also zu 2an < 4. Dann Wurzel auf beiden Seiten. Also \( \sqrt{2an} \) < \( \sqrt{4} \) und das müsste dann ja klappen.
Für die Monotonie habe ich die Behauptung: monoton steigend aufgestellt. Den Beweis dafür muss ich noch machen.
Vielleicht hat jemand ein Tipp für das weitere vorgehen.
Grüße Zeppi
