Sind die Spalten von M eine unabhängige Familie von Vektoren des R^3?

Question

Ich habe hier eine 3x4 Matrix gegeben:

$$M=\left(\begin{array}{llll}1 & 1 & 1 & 5 \\ 0 & 1 & 2 & 3 \\ 3 & -1 & -5 & 3\end{array}\right)$$

Aufgabe:

Sind die Spalten von M eine unabhängige Familie von Vektoren des R^3?

Ich denke mal mit "unabhängige Familie" sind "linear unabhängige Vektoren" gemeint.

Normal würde ich die det(M) berechnen und schauen ob die det(M)= 0 ist. Dann wären die linear abhängig.

Wie gehe ich bei einer 3x4 Matrix vor?

Answer 1

Das Vorgehen orientiert sich unmitelbar an der Definition des Begriffs Lineare Unabhängigkeit. Laut dieser sind die Vektoren

        \(\begin{pmatrix}1\\0\\3\end{pmatrix},\begin{pmatrix}1\\1\\-1\end{pmatrix},\begin{pmatrix}1\\2\\-5\end{pmatrix},\begin{pmatrix}5\\3\\3\end{pmatrix}\)

lineare unabhängig, wenn die Gleichung

        \(p\cdot \begin{pmatrix}1\\0\\3\end{pmatrix}+q\cdot \begin{pmatrix}1\\1\\-1\end{pmatrix}+r\cdot \begin{pmatrix}1\\2\\-5\end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix}5\\3\\3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}\)

eindeutig lösbar ist. Bestimme also die Lösungsmenge der Gleichung

        \(p\cdot \begin{pmatrix}1\\0\\3\end{pmatrix}+q\cdot \begin{pmatrix}1\\1\\-1\end{pmatrix}+r\cdot \begin{pmatrix}1\\2\\-5\end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix}5\\3\\3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}\).

Comments

Bestimme also die Lösungsmenge

oder berufe dich ohne Rechnung gleich darauf, dass vier Vektoren des R^3 immer linear abhängig sein müssen.

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Kann man machen. Empfehle ich Menschen, die in die Definition schauen nicht als Lösungsstrategie auf dem Radar haben, eher selten.

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Danke für deine Hilfe.

Wenn ich das LGS lösen will, dann habe ich für r und s keine Lösung. Also kann man das LSG nicht lösen, was heißt, dass die Vektoren nicht Linear Abhängig sind.

Also es entsteht eine Nullzeile:

\( \left[\begin{array}{llll}1 & 1 & 1 & 5 \\ 0 & 1 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 0\end{array}\right] \)

Kann ich dann auch sagen, dass wenn der Kern ungleich 0 ist, die Vektoren nicht Linear Abhängig sind?

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Also kann man das LSG nicht lösen

Das lineare Seichungsgystem hat zumindest die Lösung \(p=q=r=s=0\). Also kann man es lösen.

\( \begin{bmatrix}1 & 1 & 1 & 5 \\ 0 & 1 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 0\end{bmatrix} \)

Wenn du von der ersten Zeile die zweite abziehst, dann bekommst du

        \( \begin{bmatrix}1 & 0 & -1 & 2 \\ 0 & 1 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 0\end{bmatrix} \)

Das ist die sogenannte reduzierte Zeilenstufenform. Daraus bekommst du wie folgt die Lösungsmenge:

1. Parameter für die Spalten festlegen, in denen keine neue Stufe beginnt

   Das sind die dritte und vierte Spalte. Für diese verwende ich die Parameter \(r\) bzw. \(s\).
   

2. Variablen der Spalten bestimmen, in denen eine neue Stufe beginnt
   

   Die zweite Zeile liefert \(q = -2r-3s\).
   

   Die erste Zeile liefert \(p = 1r-2s\).
   

Vektoren der Lösungsmenge sind also die Vektoren der Form

        \(\begin{pmatrix}p\\q\\r\\s\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1r-2s\\-2r-3s\\r\\s\end{pmatrix}=r\cdot\begin{pmatrix}1\\-2\\1\\0\end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix}-2\\-3\\0\\1\end{pmatrix}\)

Insbesondere gibt es mehr als eine Lösung. Also sind die Spalten von \(M\) nicht linear unabhängig.

Übrigens funktioniert das auch so bei der aus dem Gaußverfahren bekannten Zeilenstufenform. Lediglich Schritt 2 ist etwas aufwendiger. Dafür erspart man sich die Umformungsschritte zur Herstellung der reduzierten Zeilenstufenform.

wenn der Kern ungleich 0 ist, die Vektoren nicht Linear Abhängig sind?

Im Gegenteil, wenn der Kern ungleich 0 ist, dann sind die Spaltenvektoren linear abhängig.

Answer 2

Aloha :)

Du kannst die linearen Abhängigkeiten der Spaltenvektoren untereinander herausrechnen, indem du die Matrix mit elementaren Spaltenumformungen auf Dreieckgestalt bringst. Übrig bleibt dann eine Basis des Bild-Raums.

$$\begin{array}{rrrr} & -S_1 & -S_1 & -5S_1\\\hline 1 & 1 & 1 & 5\\0 & 1 & 2 & 3\\3 & -1 & -5 & 3\end{array}\quad\to\quad\begin{array}{rrrr} & & -2S_2 & -3S_2\\\hline 1 & 0 & 0 & 0\\0 & 1 & 2 & 3\\3 & -4 & -8 & -12\end{array}\quad\to\quad\begin{array}{rrrr} \vec b_1 & \vec b_2 & & \\\hline 1 & 0 & 0 & 0\\0 & 1 & 0 & 0\\3 & -4 & 0 & 0\end{array}$$

Übrig bleiben zwei Basisvektoren \(\vec b_1\) und \(\vec b_2\), aus denen man die beiden anderen Spaltenvektoren der Matrix und alle Vektoren des Bildraumes der Matrix bilden kann.