Nun, du sollst Intervalle [ a , b ] und [ 1/b , 1 / a ] zeichnen unter der Bedingung 1 < a < b
Die Bedingung bedeutet, dass beide Zahlen a und b größer als 1 sein sollen und dass b größer als a sein soll. Die Zahlen a = 2 und b = 3 etwa erfüllen diese Bedingung.
Die zu zeichnenden Intervalle sind in diesem Fall: [ 2 , 3 ] und [ 1 / 3 , 1 / 2 ]
Für a=4 und b = 7 wären die Intervalle: [ 4 , 7 ] und [ 1 / 7 , 1 / 4 ]
Überlege dir weitere Beispiele. Was fällt auf?
Die Kehrwertintervalle enthalten nur Werte zwischen 0 und 1, wobei diese beiden Werte selbst nicht auftreten.
Die gesuchte Obermenge für diese Intervalle ist also: { x | 0 < x < 1 }
Dies kann man auch aus der Voraussetzung 1 < a < b ableiten:
1 < a < b
Division durch a (da a und b als positiv vorausgesetzt wurden, bleibt die Richtung der Ungleichheitszeichen erhalten):
1 / a < 1 < b / a
Division durch b:
1 / ( a b ) < 1 / b < 1 / a < 1
Für große a oder b geht 1 / (a b ) gegen 0, wird aber niemals gleich 0. Und da a ( und auch b ) größer als 1 vorausgesetzt wurde, ist 1 / a unabhängig von a immer kleiner als 1.
Das Kehrwertintervall [ 1 / b , 1 / a ] enthält also nur Werte x, für die gilt: 0 < x < 1
Analoge Formulierung für negative Zahlen
Sei a < b < - 1
Dann enthält das Kehrwerintervall [ 1 / b , 1 / a ] ausschließlich solche Werte x, für die gilt: - 1 < x < 0
