Begründen Graph hat ein 1TP und Tiefpunkt berechnen

Question

Aufgabe:

Funktionenschar gk(x)=x^2-kx-1.   K>0

Begründen Graph hat ein 1TP und Tiefpunkt berechnen
Problem/Ansatz:

x Koordinate vom TP hab ich bekommen aber die y Koordinate fehlt

Danke

Answer 1

Aloha :)

Willkommen in der Mathelounge... \o/

Mit Hilfe der zweiten binomischen Formel können wir die Funktionenschar umschreiben:

$$g_k(x)=x^2-kx-1$$$$\phantom{g_k(x)}=x^2-kx+\frac{k^2}{4}-\frac{k^2}{4}-1$$$$\phantom{g_k(x)}=\left(x^2-kx+\frac{k^2}{4}\right)-\left(\frac{k^2}{4}+1\right)$$$$\phantom{g_k(x)}=\left(x-\frac{k}{2}\right)^2-\left(\frac{k^2}{4}+1\right)$$

Da eine Quadratzahl immer \(\ge0\) ist, hat die Funktion \(g_k(x)\) ihr Minimum genau dort, wo die Quatdratzahl null wird, also bei \(x=\frac{k}{2}\). Die Funktionenschaar hat also das Minimum$$\text{Min}\left(\frac{k}{2}\bigg|-\left(\frac{k^2}{4}+1\right)\right)$$

Answer 2

Setze die ermittelte x-Koordinate (ich hoffe, du hast dafür 0,5k erhalten) an Stelle von x in die Funktionsgleichung ein. Damit erhältst du die y-Koordinate.

Answer 3

g(x)=x^2-kx-1 mit k>0

Begründen Graph hat 1TP,   →  x^2 ist positiv

g´(x)=2x-k

2x-k=0

x=\( \frac{k}{2} \)  → g(\( \frac{k}{2} \)  ) = \( \frac{k^2}{4} \) - k *\( \frac{k}{2} \) -1 = -\( \frac{k^2}{4} \)-1

g´´(x) = 2 > 0 → Minimum