Aufgabe:
f: ℝ→ℝ
f(x):= x√|x|
Problem/Ansatz:
Ich würde sagen die ist nicht differenzierbar, wenn ich mir den Graphen anschaue.
Kritisch ist nur die Stelle x0=0x_0=0x0=0. Der Grenzwertlimh→0f(x0+h)−f(x0)h=limh→0f(h)−f(0)h=limh→0h∣h∣−0h=limh→0∣h∣\lim_{h\to0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}h=\lim_{h\to0}\frac{f(h)-f(0)}h=\lim_{h\to0}\frac{h\sqrt{\lvert h\rvert}-0}h=\lim_{h\to0}\sqrt{\lvert h\rvert}h→0limhf(x0+h)−f(x0)=h→0limhf(h)−f(0)=h→0limhh∣h∣−0=h→0lim∣h∣existiert offenbar. Demnach ist fff differenzierbar.
Die erste Ableitung existiert. Problematisch ist die zweite Ableitung, die für x=0 nicht definiert ist.
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