Matrixpotenz berechnen ohne Matrixmultiplikation

Question

Aufgabe:

Matrixpotenz berechnen ohne Matrixmultiplikation

Problem/Ansatz:

Hallo, ich habe eine Matrix

A = \( \begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 & -1 \\ 1 & -1 &1 & -1 \\ 1 & -1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \)

Nun möchte ich A^6-A^4-2A²+3A+3I_4 berechnen, jedoch ohne Matrixmultiplikation. Die Matrix ist ja nicht diagonalisierbar, daher kann ich ja nicht die einfache Formel anwenden. Was für eine Möglichkeit bleibt mir übrig? Vielen Dank.

Comments

Rechne halt mal das charakteristische Polynom aus und schau dir dann den Satz von Cayley-Hamilton an.

---

Da komme ich auf X^4+X^2, aber das hat ja nur eine einzige Nullstelle bei X = 0?

---

Tipp1: Nach bereits erwähntem Satz gilt \(A^4+A^2=0\).
Tipp2: \(A^6-A^4-2A^2=(A^4+A^2)\cdot(A^2-2I_4)\).

---

danke habs jetzt so rausbekommen dass ich 2a^2 durch -2a^4 ersetzt habe. dann noch a^2 herausklammern und der term fällt weg.