Partialsumme bestimmen und damit Summenwert berechnen (Reihe)

Question

Aufgabe: Man soll für die Reihe die Partialsumme bestimmen und dann damit den Summenwert berechnen.

\( \sum\limits_{k=1}^{\infty}{(-1)^{k+1}(\frac{1}{k}+\frac{1}{k+1})} \)

Problem/Ansatz:

Mein Problem ist es, dass ich nicht verstehe, wie man eine Partialsumme bildet. Ich habe mir mehrere Beispiele angeguckt, aber dort stand nie wirklich, wie man genau auf die Formel kommt.

Ich wäre sehr dankbar, wenn jemand sein vorgehen genau erläutern könnte.

Danke Zeppi

Answer 1

Nimm doch einfach die Summe bis n anstelle von ∞.

Dann schreib die Summe mal auf. Du wirst feststellen, dass alles bis auf das erste und das letzte Glied herausfällt.

Comments

Ok. Dann bekomme ich für:

s1= 3/2

s2= 2/3

s3= 5/4

s4= 4/5

s5= 7/6

s6= 6/7

und immer so weiter. Also quasi a/b, b/a, c/d, d/c  (falls du mich damit verstehst)

Wie kann ich daraus eine Partialsumme basteln?

---

Ich hab es eigentlich so gedacht....

---

Achso, danke.

Aber wie kommst du im letzten Schritt auf 1 - (-1)ⁿ⁺¹  * 1/n+1? Besser gesagt nur auf die 1-?

Und ist das, das Vorgehen bei Partialsummen?

---

du meintest ja auch, dass alles bis auf das erste und letzte Glied herausfallen wird. Wie setze ich das dann so zusammen, dass eine Partialsumme entsteht?

---

Ich hab es Dir hier mal für den Fall n=4 aufgeschrieben. Du siehst, dass alle Summenglieder bis auf das erste und letzte herausfallen.

Diese Art von Summen nennt man Teleskopsummen, die sich als ein Sonderfall bei den Partialsummen leicht berechnen lassen.

---

Ah, danke. Jetzt sehe ich, was du meinst.

Und daraus kann man dann eine Partialsummen-Formel ableiten, oder verwechsle ich da, was überhaupt eine Partialsumme ist?