Assymote beweisen und Grenzwert untersuchen

Question

Ich komme bei dieser Aufgabe nicht so ganz weiter:

f(x)= (x^2-3x-4)/x+2

f'(x)= (x^2+4x-2)

f''(x)= 12/(x+2)^3

Zeige, dass die Funktion g(x)= x-5 eine Assymtote von f ist, indem sie den Grenzwert von f(x)-g(x) x -> unend. untersuchen.

Comments

Polynomdivision durchführen:

x^2-3x-4:(x+2) = ...

Answer 1

Betrachte einfach die Differenz

\(f(x)-g(x)=\frac{x^2-3x-4}{x+2}-(x-5)=\frac{x^2-3x-4-(x-5)(x+2)}{x+2}=\frac{x^2-3x-4-(x^2-3x-10)}{x+2}\\=\frac{6}{x+2}\) und dann sieht man, dass

\(\lim\limits_{x\to \infty} (f(x)-g(x))=\lim\limits_{x\to \infty} \frac{6}{x+2}=0.\)

Answer 2

Polynomdivision

f(x) = (x^2 - 3·x - 4)/(x + 2) = x - 5 + 6/(x + 2)

lim (x → ∞) f(x) - (x - 5) = lim (x → ∞) 6/(x + 2) = 0