Berechnung Inhomogene DGL 2.Ordnung

Question

Aufgabe:

Inhomogene DGL 2.Ordnung

Text erkannt:

\( w^{\prime \prime}(x)+\sigma w(x)=b x^{2} \)
Randbedigung:
$$ \begin{array}{l} * \quad w(0)=0 \\ * \quad w(e)=0 \\ * \quad w^{\prime \prime}(0)=0 \\ * \quad w^{\prime \prime}(e)=0 \end{array} $$
mit \( \sigma, b \) und e konstant

Problem/Ansatz:

Ich würde b und x^2 auf die linke Seite ziehen, um dann die allgemeine Form zu bekommen. Danach wäre mein nächster Schritt eine partikuläre Lösung zu berechnen. Leider fällt mir jetzt hier der Ansatz. Soll keine Ausrede sein aber irgendwie habe ich sau viel in der Uni dank Corona verpasst :/. Ich wäre jeden für irgendwelche sinnvollen Ansätze dankbar.

Comments

Hallo,

ich verstehe die Aufgabe nicht: Wenn ich in der Differentialgleichung x=e setze, steht links 0 aufgrund der Randbedingungen und rechts b*e^2?

Sollte es eventuell die 4. Ableitung, also w'''', sein?

Gruß Mathhilf

Answer 1

Hallo,

Ich schreibe mal der Einfachheit für w=y und für σ =a

------>

y'' +a y= b x^2

zuerst die homogene DGL betrachten:

y'' +a y=0

y=e^(λ x) → -->2 Mal ableiten

y'= λ e^(λx)

y'' =λ^2 e^(λx)

und in die DGL einsetzen:

λ^2 e^(λx) +a e^(λ x)=0

e^(λx) (λ^2 +a)=0 | : e^(λx) ≠ 0

->Charakt. Gleichung : λ^2+a=0

λ_1,2= ± i√a

------>

y_h=\( y(x)=c_{1} \cos (\sqrt{a} x)+c_{2} \sin (\sqrt{a} x) \)

(Umwandlung des Komplexen :siehe Tabelle)

http://micbaum.y0w.de/uploads/LoesungsansaetzeDGLzweiterOrdnung.pdf

Blatt 2, Punkt1; 3.Fall

Ansatz part. Lösung:

yp=A +Bx+Cx^2 --------->

yp'= B+2Cx

yp''= 2C

------->yp''= und yp in die DGL einsetzen ----------->Koeffizientenvergleich

yp= (-2b)/a^2 +(b x^2)/a

y=yh+yp

Das Ganze bitte umschreiben auf Deine Bezeichnungen

Schau bitte , ob Deine Anfangsbestimmungen richtig sind?

Die dann in die Lösung einsetzen, vorher die Lösung 2 Mal ableiten

Comments

Danke dir :D

D.h. ich muss am Ende nur noch y_{h} zweimal ableiten und in die Gl. (y=yh+yp) einsetzen.

Für was ist eigentlich die Gl. y(x) ?

Aber sonst macht es echt Sinn :) Dankeeeeee

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1) ich muss am Ende nur noch yh zweimal ableiten und in die Gl. (y=yh+yp) einsetzen.

nein, y_p muß  2 Mal abgeleitet werden und in die Aufgabe eingesetzt werden

2) Für was ist eigentlich die Gl. y(x) ?

das ist die homogene Lösung der DGL

y= y_h +y_p

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1) Ach okay.

Aber die Gl. y =e^(lambda x) muss auch zweimal abgeleitet werden?

 2) y=e^(lambda x) wäre doch dann y_{h} ?

Ich schaue mir es gleich nochmal richtig an, damit ich es auch verstehe :)

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habs oben ergänzt.

Aber die Gl. y =e^(λx) muss auch zweimal abgeleitet werden? JA

das Ableiten brauchst Du nicht jedesmal zu machen, wenn Du das

"im Blut" hast, schreibt Du gleich die charakt. Gleichung.