Allgemeine Koordinatenform in Hessescher Normalform umrechnen

Question

Aufgabe:

Allgemeine Koordinatenform in Hessescher Normalform umrechnen

Text erkannt:

Gerade in Koordinatenform
\( g: 4 x_{1}-3 x_{2}-5=0 \)
Hinweis:
Die Koordinaten des Normalenvektors entsprechen den Koeffizienten von
\( x_{1} \) und \( x_{2} \)
\( \vec{n}=\left(\begin{array}{c}4 \\ -3\end{array}\right) \)
Länge des Normalenvektors
\( |\vec{n}|=\sqrt{4^{2}+(-3)^{2}}=\sqrt{25}=5 \)
Gerade in Hessescher Normalform
\( g:\left(\frac{1}{5}\right) \cdot\left[4 x_{1}-3 x_{2}-5\right]=0 \)

Ich verstehe nicht wie das Funktioniert. Die 5 im Nenner ist mir klar, aber wieso die 1 im Zähler? Und was bedeuten die eckigen Klammern in der letzten Zeile? Ich hoffe ihr könnt mir helfen,

Answer 1

Die Koordinatenform wird durch die Länge des Normalenvektors geteilt.

Teilen durch 5 ist das gleiche wie Multiplikation mit \(\frac{1}{5}\) (man teilt durch eine Zahl indem man mit ihrem Kehrwert multipliziert).

Die Klammern sind nur aus kosmetischen Gründen eckig.

Answer 2

\(g:\left(\frac{1}{5}\right) \cdot\left[4 x_{1}-3 x_{2}-5\right]=0 \)

Wenn du ausmultiplizierst, sieht es so aus.

\(g: \frac{4}{5} x_{1}-\frac{3}{5} x_{2}-1=0 \)