Umwandlung Normalform in Hessescher Normalform.

Question

Aufgabe:

Umwandlung Normalform in Hessescher Normalform.

Text erkannt:

Beispiel (Normalenform gegeben)
Gerade in Normalenform
\( g: \vec{n} \circ[\vec{x}-\vec{a}]=\left(\begin{array}{l}4 \\ 3\end{array}\right) \circ\left[\left(\begin{array}{l}x_{1} \\ x_{2}\end{array}\right)-\left(\begin{array}{l}2 \\ 1\end{array}\right)\right]=0 \)
Länge des Normalenvektors
\( |\vec{n}|=\sqrt{4^{2}+3^{2}}=\sqrt{25}=5 \)
Gerade in Hessescher Normalform
\( g: \frac{\vec{n}}{|\vec{n}|} \circ[\vec{x}-\vec{a}]=\frac{1}{5} \cdot\left(\begin{array}{l}4 \\ 3\end{array}\right) \circ\left[\left(\begin{array}{l}x_{1} \\ x_{2}\end{array}\right)-\left(\begin{array}{l}2 \\ 1\end{array}\right)\right]=0 \)

In der letzten Zeile sieht man, dass man den Normaleneinheitsvektor mit dem anderen Teil rechnen muss. Meine Frage ist, wieso gleich danach mit (4 3) gerechnet wird, obwohl das nur der Normalenvektor ist? Meine andere Frage ist, für was der Vektor x steht? Für einen beliebigen Punkt auf der Gerade?

Ich hoffe ich könnt mir helfen.

Answer 1

In der Hesseschen Normalform dividiert man den Normalenvektor durch seine Länge oder Multipliziert mit dem Kehrwert der Länge.

1/5 * [4, 3] = [4/5, 3/5]

Oft wird der Faktor 1/5 aber einfach so vor dem Vektor stehen gelassen. Damit der Vektor ganze Zahlen beibehält.

Und die Annahme das der Vektor x für einen Punkt der Geraden steht ist völlig richtig.