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Aufgabe:

Gegeben ist eine Gerade mit g=-6/5x + 4 Innerhalb dieser Geraden soll die größtmöglichste Fläche des Rechtecks berechnet werden. Also der Punkt P.

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Problem/Ansatz:

Ich verstehe nicht, wie man den gesuchten Punkt berechnem kann und wie man den maximalen Flächeninhalt errechnen kann.

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Aloha :)

Du kannst diese Aufgabe auch ohne Ableitungen lösen, indem du die Parabelgleichung auf die Scheitelpunktform bringst. Durch die Gerade \(g(x)=-\frac{6}{5}x+4\) ist der \(y\)-Wert der rechten oberen Ecke \(P(x|y)\) festgelegt. Die Fläche des Rechtecks ist daher:$$F=xy=x\left(-\frac{6}{5}x+4\right)=-\frac{6}{5}x^2+4x=-\frac{6}{5}\left(x^2-\frac{5}{6}\cdot4x\right)=-\frac{6}{5}\left(x^2-\frac{10}{3}x\right)$$

Den Ausdruck in der Klammer können wir mit Hilfe der quadratischen Ergänzung in ein Binom umwandeln. Um die quadratische Ergänzung zu finden, nehmen wir die Zahl vor dem \(x\), halbieren sie und quadrieren danach das Ergebnis:$$\text{quadratische Ergänzung }=\left(\frac{1}{2}\cdot\frac{10}{3}\right)^2=\left(\frac{5}{3}\right)^2=\frac{25}{9}$$

Das bauen wir nun in die Formel für die Fläche ein:$$F=-\frac{6}{5}\left(x^2-\frac{10}{3}x\,+\underbrace{\,\frac{25}{9}-\frac{25}{9}}_{=0}\right)=-\frac{6}{5}\left(\underbrace{\left(x^2-\frac{10}{3}x+\frac{25}{9}\right)}_{=\left(x-\frac{5}{3}\right)^2}-\frac{25}{9}\right)$$$$F=-\frac{6}{5}\left(\,\left(x-\frac{5}{3}\right)^2-\frac{25}{9}\,\right)=-\frac{6}{5}\left(x-\frac{5}{3}\right)^2+\frac{6}{5}\cdot\frac{25}{9}$$$$F=-\frac{6}{5}\left(x-\frac{5}{3}\right)^2+\frac{10}{3}$$

Da eine Quadratzahl nie negativ sein kann, hat \(\left(x-\frac{5}{3}\right)^2\) für \(x=\frac{5}{3}\) seinen kleinsten Wert \(0\). Für \(x=\frac{5}{3}\) subtrahieren wir also von \(\frac{10}{3}\) am wenigsten.

Für \(x=\frac{5}{3}\) ist die Fläche maximal mit \(\frac{10}{3}\) Flächeneinheiten.

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f(x) = - 6/5·x + 4

A = x·(- 6/5·x + 4) = 4·x - 1.2·x^2

A' = 4 - 2.4·x = 0 → x = 5/3

f(5/3) = - 6/5·(5/3) + 4 = 2 → P(5/3 | 2)

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Danke, aber gibt es auch eine Möglichkeit ohne Ableitungen? Wir hatten noch keine Ableitungen.

Danke, aber gibt es auch eine Möglichkeit ohne Ableitungen? Wir hatten noch keine Ableitungen.

Gibt es. Berechne einfach den Scheitelpunkt dieser nach unten geöffneten Parabel.

A = 4·x - 1.2·x^2

Auch da gibt es verschiedene Wege. Such dir einen aus den du kannst und vergleiche dann mit der Lösung über die Ableitung.

Warum darf man die Gleichung der linearen Funktion in die Gleichung des Flächeninhaltes einsetzten?

Die Höhe des Rechtecks an dem Punkt A(x | 0) ist einfach f(x) und damit darf ich f(x) für die Höhe des Rechtecks einsetzen.

Ich kann mir das nicht bildlich vorstellen warum der Scheitelpunkt dann der Punkt P ist und warum man die Gleichung der linearen Funktion in die Gleichung des Flächeninhaltes einsetzten darf und warum das so ist.

Die Fläche eines Rechtecks berechnet sich aus Grundseite mal Höhe

A = g * h

Bezeichne die Strecke von O zu A einfach x weil sie auch die Länge x hat.

Die Höhe von O zu B ist auch die Höhe an der Stelle x also f(x).

Damit gilt für die Fläche eines Rechtecks mit A an der Stelle x genau

A = x * f(x)

Berechne also mal mit einer Wertetabelle verschiedene eingezeichnete Rechtecke.

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