Extremwertaufgabe / Punkt berechenen

Question

Aufgabe:

Gegeben ist eine Gerade mit g=-6/5x + 4 Innerhalb dieser Geraden soll die größtmöglichste Fläche des Rechtecks berechnet werden. Also der Punkt P.

Problem/Ansatz:

Ich verstehe nicht, wie man den gesuchten Punkt berechnem kann und wie man den maximalen Flächeninhalt errechnen kann.

Answer 1

Aloha :)

Du kannst diese Aufgabe auch ohne Ableitungen lösen, indem du die Parabelgleichung auf die Scheitelpunktform bringst. Durch die Gerade $g(x)=-\frac{6}{5}x+4$ ist der $y$-Wert der rechten oberen Ecke $P(x|y)$ festgelegt. Die Fläche des Rechtecks ist daher:$$F=xy=x\left(-\frac{6}{5}x+4\right)=-\frac{6}{5}x^2+4x=-\frac{6}{5}\left(x^2-\frac{5}{6}\cdot4x\right)=-\frac{6}{5}\left(x^2-\frac{10}{3}x\right)$$

Den Ausdruck in der Klammer können wir mit Hilfe der quadratischen Ergänzung in ein Binom umwandeln. Um die quadratische Ergänzung zu finden, nehmen wir die Zahl vor dem $x$, halbieren sie und quadrieren danach das Ergebnis:$$\text{quadratische Ergänzung }=\left(\frac{1}{2}\cdot\frac{10}{3}\right)^2=\left(\frac{5}{3}\right)^2=\frac{25}{9}$$

Das bauen wir nun in die Formel für die Fläche ein:$$F=-\frac{6}{5}\left(x^2-\frac{10}{3}x\,+\underbrace{\,\frac{25}{9}-\frac{25}{9}}_{=0}\right)=-\frac{6}{5}\left(\underbrace{\left(x^2-\frac{10}{3}x+\frac{25}{9}\right)}_{=\left(x-\frac{5}{3}\right)^2}-\frac{25}{9}\right)$$$$F=-\frac{6}{5}\left(\,\left(x-\frac{5}{3}\right)^2-\frac{25}{9}\,\right)=-\frac{6}{5}\left(x-\frac{5}{3}\right)^2+\frac{6}{5}\cdot\frac{25}{9}$$$$F=-\frac{6}{5}\left(x-\frac{5}{3}\right)^2+\frac{10}{3}$$

Da eine Quadratzahl nie negativ sein kann, hat $\left(x-\frac{5}{3}\right)^2$ für $x=\frac{5}{3}$ seinen kleinsten Wert $0$. Für $x=\frac{5}{3}$ subtrahieren wir also von $\frac{10}{3}$ am wenigsten.

Für $x=\frac{5}{3}$ ist die Fläche maximal mit $\frac{10}{3}$ Flächeneinheiten.

Answer 2

f(x) = - 6/5·x + 4

A = x·(- 6/5·x + 4) = 4·x - 1.2·x²

A' = 4 - 2.4·x = 0 → x = 5/3

f(5/3) = - 6/5·(5/3) + 4 = 2 → P(5/3 | 2)

Comments

Danke, aber gibt es auch eine Möglichkeit ohne Ableitungen? Wir hatten noch keine Ableitungen.

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Danke, aber gibt es auch eine Möglichkeit ohne Ableitungen? Wir hatten noch keine Ableitungen.

Gibt es. Berechne einfach den Scheitelpunkt dieser nach unten geöffneten Parabel.

A = 4·x - 1.2·x²

Auch da gibt es verschiedene Wege. Such dir einen aus den du kannst und vergleiche dann mit der Lösung über die Ableitung.

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Warum darf man die Gleichung der linearen Funktion in die Gleichung des Flächeninhaltes einsetzten?

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Die Höhe des Rechtecks an dem Punkt A(x | 0) ist einfach f(x) und damit darf ich f(x) für die Höhe des Rechtecks einsetzen.

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Ich kann mir das nicht bildlich vorstellen warum der Scheitelpunkt dann der Punkt P ist und warum man die Gleichung der linearen Funktion in die Gleichung des Flächeninhaltes einsetzten darf und warum das so ist.

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Die Fläche eines Rechtecks berechnet sich aus Grundseite mal Höhe

A = g * h

Bezeichne die Strecke von O zu A einfach x weil sie auch die Länge x hat.

Die Höhe von O zu B ist auch die Höhe an der Stelle x also f(x).

Damit gilt für die Fläche eines Rechtecks mit A an der Stelle x genau

A = x * f(x)

Berechne also mal mit einer Wertetabelle verschiedene eingezeichnete Rechtecke.