Tangensteigungen in Punkten bestimmen + zeichnen? Mithilfe des Differenzenquotienten

Question

Aufgabe(n):

13a) Zeichnen Sie den Graphen f mit f(x) = (x - 2)² in ein Koordinatensystem. Zeichnen Sie vom Punkt A (1|1) des Graphen aus Sekanten zu Punkten mit den x-Koordinaten x = 1 + h für h = 2; h = 1,5; h = 1 und h = 0,5 ein.

b) Zeigen Sie, dass f(1 + h) = 1 - 2h + h² gilt.

c) Zeigen Sie mithilfe des Differenzenquotienten, dass für die Steigungen der Sekanten bei Punkt A gilt: mh = -2 + h.

d) Überprüfen Sie die mit der Formel aus c) berechneten Sekantensteigungen anhand Ihrer Zeichnung.

e) Bestimmen Sie die Tangentengleichung im Punkt A rechnerisch und zeichnen Sie die Tangente.

Problem/Ansatz:

Mein Problem ist, dass ich nicht genau verstehe, wie man die Sekanten einzeichnen soll und wie man es bei b) + c) zeigen soll.

Wäre soweit die h-Methode anzuwenden, aber das würde ja nicht zu der Lösung führen..

Answer 1

f(1 + h) = ( 1+h-2)^2 = (h-1)^2 = 1 - 2h + h² 

(f(1+h) - f(1) ) / ( 1+h -1 ) = ( 1 - 2h + h² - 1 ) / h = -2+h

~plot~ (x-2)^2;-0,5x+1,5;-x+2;-1,75*x+2,75;1 ~plot~

Comments

Hey!

Dankeschön, hat mir schon einiges weiter geholfen :)!

Eine Frage hätte ich noch, warum teilt man das durch 1+h-1, also wie kommt man auf die 1 und -1? Ich hatte sonst immer nur h.

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Das ist ja das Gleiche wie h, also der

Unterschied zwischen den x-Werten 1+h und 1   ist eben

1+h-1 = h.

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Irgendwie verstehe ich 13d und e) noch nicht..

Kannst du mir dabei helfen?

Bei d) hat man ja jetzt die Steigung m = -2 + h, aber wie kann man das überprüfen? Soll man da etwas einzeichnen, oder nachrechnen?

Bei e) muss man ja jetzt einfach nur y = mx + b benutzen als Formel oder auch den Differenzenquotient (kommt dann da nicht dasselbe wie bei c) raus)? Bin etwas verwirrt, Sekante war dass die Steigung sich nicht mit der Kurve schneidet und Tangente, wenn es sie schneidet.. Jetzt kommt da plötzlich eine Tangentensteigung :o

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Habe jetzt bei 13e) als Ableitung 2x - 4 berechnet, soll man die Tangente jetzt einfach einzeichnen, sie würde aber den Scheitelpunkt schneiden?

Sorry für die vielen Fragen, hoffe es klärt sich etwas :)

Bin für alles dankbar.

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Ableitung 2x-4 stimmt.

Und für die Tangentensteigung musst du hier x=1 einsetzen, also

Steigung m=-2.

Answer 2

wie man die Sekanten einzeichnen soll

Man zeichnet eine Gerade, die durch die zwei Punkte verläuft.

Der eine Punkt ist A.

x = 1 + h für h = 2

Die x-Koordinate des zweiten Punktes ist 1+2.

Die y-Koordinate des zweiten Punktes bekommst du, indem du 1+2 für x in die Funktionsgleichung einsetzt.

b) Zeigen Sie, dass f(1 + h) = 1 - 2h + h² gilt.

Setze \(1+h\) für \(x\) in die Funktionsgleichung ein und forme um.

c) Zeigen Sie mithilfe des Differenzenquotienten

Der Differenzenquotient ist

        \(m_h = \frac{f(x+h)-f(x)}{h}\).

bei Punkt A

Setze also \(x = 1\) in den Differenzenquotienten ein, weil das die x-Koordinate des Punktes \(A\) ist.

Comments

Hey!

Danke für deine Antwort, hat mir schon ein Stück weiter geholfen.

Hab noch eine Frage zu d), muss man dort den Differenzenquotient 4 mal einsetzen? Für h= 2, h = 1,5.. ? Oder wie könnte man das überprüfen? Der Differenzenquotient gibt ja an, wie doll ein bestimmter Punkt steigt, oder?

Bei e) müsste ich dann nur einsetzen schätze ich mal, also mh = -2 + h einsetzen in y = mx + b? Wäre es dann 3 = -2 + h • 1 + b?

Aber dann würde das h doch wegfallen oder?