Question

Zeigen Sie, dass die Funktion k(x)= x+1 bijektiv ist.

k : R → R

Mir ist klar, dass diese Funktion bijektiv ist; aber wie kann ich das "Zeigen" oder reicht es, wenn ich die Funktion zeichne und dazuschreibe, dass jedes y aus R genau einmal auf x aus R abgebildet wird.

Answer 1

Aloha :)

Wir betrachten die Funktion: \(k\colon\mathbb R\to\mathbb R\,,\,x\mapsto x+1\).

a) Surjektivität

Surjektiv bedeutet, dass jedes Element der Zielmenge mindestens 1-mal getroffen wird.

Wir wählen ein \(y\in\mathbb R\) aus der Zielmenge beliebig und halten es fest. Nun prüfen wir, ob es zu diesem \(y\) ein passendes \(x\in\mathbb R\) aus der Definitionsmenge gibt, sodass \(k(x)=y\) gilt:$$k(x)=y\quad\Longleftrightarrow\quad x+1=y\quad\Longleftrightarrow\quad x=y-1\in\mathbb R\quad\checkmark$$Die Funktion ist also surjektiv.

b) Injektivität

Injektiv bedeutet, dass jedes Element der Zielmenge höchstens 1-mal getroffen wird.

Wir führen den Beweis durch Widerspruch, indem wir annehmen, dass es zwei Elemente \(a,b\in\mathbb R\) aus der Definitionsmenge gibt, die dasselbe Ziel haben:$$f(a)=f(b)\quad\implies\quad a+1=b+1\quad\implies\quad a=b\quad\checkmark$$Es gibt also keine zwei verschiedenen Elemente \(a,b\) aus der Definitionsmenge, die dasselbe Ziel haben. Daher wird jedes Element der Zielmenge höchstens 1-mal getroffen. Die Funktion ist also injektiv.

c) Bijektiv

Bijektiv bedeutet, dass jedes Element der Zielmenge genau 1-mal getroffen wird. Das ist genau dann der Fall, wenn die Funktion injektiv und surjektiv ist.

Answer 2

Hallo :-)

Bijektivität heißt ja per Definition, dass Injektivität und Surjektivität vorliegt. Du musst also zeigen, dass deine Funktion injektiv und surjektiv ist.

Comments

Hallo hallo97,

und wie mache ich das :D?

Kann ich dann einfach sagen; Die Funktion ist surjektiv, da für jedes y aus R mindestens ein x aus R existiert und die Funktion ist Injektiv, da für jedes y aus R höchstens ein x aus R existiert.

Oder muss ich da sowas wie eine Probe machen (Punktprobe). Oder muss ich im negativen fall dann nur ein Gegenbeispiel zeigen?

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Nein. Du musst mit den Definitionen arbeiten, die ihr eingeführt habt; sonst ist das kein Beweis. Welche Definitionen hast du denn kennengelernt?

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"Die Funktion ist surjektiv, da für jedes y aus R mindestens ein x aus R existiert und die Funktion ist Injektiv, da für jedes y aus R höchstens ein x aus R existiert."

Fast so steht es im Skript. Ich hatte nur nicht gedacht, dass man das ohne Rechnung zeigen kann.

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Hmm ok. Das kann man schon mit Rechnung zeigen.  ,,mindestens ein x" (surjektiv) und ,,höchstens ein x" (injektiv) impliziert doch ,,genau ein x".

Jetzt nimmst du dir einfach ein beliebiges \(y\in \mathbb{R}\) und suchst ein \(x\in \mathbb{R}\) mithilfe deiner Funktion \(k\), sodass \(k(x)=y\) gilt.

Answer 3

Wenn du es nicht mit der Definition zeigen willst, kannst du auch beweisen, dass es ein Links- und Rechtsinverses gibt. Natürlich nur, wenn ihr den entsprechenden Satz in der Vorlesung hattet.

Dazu musst du zuerst die Umkehrfunktion berechnen

x + 1 = y

x = y - 1

Jetzt x und y vertauschen.

y = x - 1 = k^-1(x)

Jetzt nur noch zeigen, dass

k(k^-1(x)) = x und

k^-1(k(x)) = x für alle x auf den reellen Zahlen :)