Question

Zeigen Sie, dass die Funktion k(x)= x+1 bijektiv ist.

k : R → R

Mir ist klar, dass diese Funktion bijektiv ist; aber wie kann ich das "Zeigen" oder reicht es, wenn ich die Funktion zeichne und dazuschreibe, dass jedes y aus R genau einmal auf x aus R abgebildet wird.

Answer 1

Aloha :)

Wir betrachten die Funktion: $k\colon\mathbb R\to\mathbb R\,,\,x\mapsto x+1$.

a) Surjektivität

Surjektiv bedeutet, dass jedes Element der Zielmenge mindestens 1-mal getroffen wird.

Wir wählen ein $y\in\mathbb R$ aus der Zielmenge beliebig und halten es fest. Nun prüfen wir, ob es zu diesem $y$ ein passendes $x\in\mathbb R$ aus der Definitionsmenge gibt, sodass $k(x)=y$ gilt:$$k(x)=y\quad\Longleftrightarrow\quad x+1=y\quad\Longleftrightarrow\quad x=y-1\in\mathbb R\quad\checkmark$$Die Funktion ist also surjektiv.

b) Injektivität

Injektiv bedeutet, dass jedes Element der Zielmenge höchstens 1-mal getroffen wird.

Wir führen den Beweis durch Widerspruch, indem wir annehmen, dass es zwei Elemente $a,b\in\mathbb R$ aus der Definitionsmenge gibt, die dasselbe Ziel haben:$$f(a)=f(b)\quad\implies\quad a+1=b+1\quad\implies\quad a=b\quad\checkmark$$Es gibt also keine zwei verschiedenen Elemente $a,b$ aus der Definitionsmenge, die dasselbe Ziel haben. Daher wird jedes Element der Zielmenge höchstens 1-mal getroffen. Die Funktion ist also injektiv.

c) Bijektiv

Bijektiv bedeutet, dass jedes Element der Zielmenge genau 1-mal getroffen wird. Das ist genau dann der Fall, wenn die Funktion injektiv und surjektiv ist.

Answer 2

Hallo :-)

Bijektivität heißt ja per Definition, dass Injektivität und Surjektivität vorliegt. Du musst also zeigen, dass deine Funktion injektiv und surjektiv ist.

Comments

Hallo hallo97,

und wie mache ich das :D?

Kann ich dann einfach sagen; Die Funktion ist surjektiv, da für jedes y aus R mindestens ein x aus R existiert und die Funktion ist Injektiv, da für jedes y aus R höchstens ein x aus R existiert.

Oder muss ich da sowas wie eine Probe machen (Punktprobe). Oder muss ich im negativen fall dann nur ein Gegenbeispiel zeigen?

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Nein. Du musst mit den Definitionen arbeiten, die ihr eingeführt habt; sonst ist das kein Beweis. Welche Definitionen hast du denn kennengelernt?

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"Die Funktion ist surjektiv, da für jedes y aus R mindestens ein x aus R existiert und die Funktion ist Injektiv, da für jedes y aus R höchstens ein x aus R existiert."

Fast so steht es im Skript. Ich hatte nur nicht gedacht, dass man das ohne Rechnung zeigen kann.

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Hmm ok. Das kann man schon mit Rechnung zeigen.  ,,mindestens ein x" (surjektiv) und ,,höchstens ein x" (injektiv) impliziert doch ,,genau ein x".

Jetzt nimmst du dir einfach ein beliebiges $y\in \mathbb{R}$ und suchst ein $x\in \mathbb{R}$ mithilfe deiner Funktion $k$, sodass $k(x)=y$ gilt.

Answer 3

Wenn du es nicht mit der Definition zeigen willst, kannst du auch beweisen, dass es ein Links- und Rechtsinverses gibt. Natürlich nur, wenn ihr den entsprechenden Satz in der Vorlesung hattet.

Dazu musst du zuerst die Umkehrfunktion berechnen

x + 1 = y

x = y - 1

Jetzt x und y vertauschen.

y = x - 1 = k^-1(x)

Jetzt nur noch zeigen, dass

k(k^-1(x)) = x und

k^-1(k(x)) = x für alle x auf den reellen Zahlen :)