Wie kann man die Ableitung der Umkehrfunktion f^( -1) mit der Kettenregel berechnen?

Question

Aufgabe:

Die differenzierbare Funktion f: ℝ→ℝ habe eine differenzierbare Umkehrfunktion f ^-1:ℝ→ℝ. Berechnen Sie mit Hilfe der Kettenregel die Ableitung von f ^-1. Bestimmen Sie mit Hilfe dieses Resultats die Ableitung von arcsin(x), wobei der Definitions- und Bildbereich der Sinusfunktion geeignet eingeschränkt werden muss.

Problem/Ansatz

Wie kann man die Ableitung der Umkehrfunktion f ^-1 mit der Kettenregel berechnen?

Answer 1

Aloha :)

Eine Funktion und ihre Umkehrfunktion heben ihre Wirkung gegenseitig auf:$$f(\,f^{-1}(x)\,)=x$$Dies gilt für alle Argumente $x\in\mathbb D$ aus dem Definitionsbereich. Wenn wir nun beide Seiten vom Gleichheitszeichen nach $x$ ableiten, verwenden wir links die Kettenregel und rechts erhalten wir eine $1$:$$f'(\,f^{-1}(x)\,)\cdot\left(f^{-1}(x)\right)'=1$$Dividieren wir noch durch die erste Ableitung, sind wir fertig:$$\left(f^{-1}(x)\right)'=\frac{1}{f'(\,f^{-1}(x)\,)}$$

Das sieht fürchterlich kompliziert aus, ist aber tatsächlich sehr simpel. Ich führe das mal an einem Beispiel vor. Wir suchen die Ableitung von $\arcsin(x)$.

$$\left.\sin(\arcsin(x))=x\quad\right|\text{beide Seiten ableiten}$$$$\left.\cos(\arcsin(x))\cdot\arcsin'(x)=1\quad\right|:\cos(\arcsin(x))$$$$\left.\arcsin'(x)=\frac{1}{\cos(\arcsin(x))}\quad\right.$$

Das lassen wir natürlich nicht so stehen. Mit $\cos^2y+\sin^2y=1$ formen wir um:$$\arcsin'(x)=\frac{1}{\sqrt{1-\sin^2(\arcsin(x))}}=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$$

Dieser letzte Umformungsschritt ist eigentlich der entscheidende, geht aber bei der rein formalen Erklärung in der Regel unter.

Answer 2

Schau mal unter

https://de.serlo.org/mathe/1805/ableitung-der-umkehrfunktion