Aloha :)
Eine Funktion und ihre Umkehrfunktion heben ihre Wirkung gegenseitig auf:f(f−1(x))=xDies gilt für alle Argumente x∈D aus dem Definitionsbereich. Wenn wir nun beide Seiten vom Gleichheitszeichen nach x ableiten, verwenden wir links die Kettenregel und rechts erhalten wir eine 1:f′(f−1(x))⋅(f−1(x))′=1Dividieren wir noch durch die erste Ableitung, sind wir fertig:(f−1(x))′=f′(f−1(x))1
Das sieht fürchterlich kompliziert aus, ist aber tatsächlich sehr simpel. Ich führe das mal an einem Beispiel vor. Wir suchen die Ableitung von arcsin(x).
sin(arcsin(x))=x∣beide Seiten ableitencos(arcsin(x))⋅arcsin′(x)=1∣∣∣ : cos(arcsin(x))arcsin′(x)=cos(arcsin(x))1
Das lassen wir natürlich nicht so stehen. Mit cos2y+sin2y=1 formen wir um:arcsin′(x)=1−sin2(arcsin(x))1=1−x21
Dieser letzte Umformungsschritt ist eigentlich der entscheidende, geht aber bei der rein formalen Erklärung in der Regel unter.