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Aufgabe:

Die differenzierbare Funktion f: ℝ→ℝ habe eine differenzierbare Umkehrfunktion f -1:ℝ→ℝ. Berechnen Sie mit Hilfe der Kettenregel die Ableitung von f -1. Bestimmen Sie mit Hilfe dieses Resultats die Ableitung von arcsin(x), wobei der Definitions- und Bildbereich der Sinusfunktion geeignet eingeschränkt werden muss.


Problem/Ansatz

Wie kann man die Ableitung der Umkehrfunktion f -1 mit der Kettenregel berechnen?

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Aloha :)

Eine Funktion und ihre Umkehrfunktion heben ihre Wirkung gegenseitig auf:f(f1(x))=xf(\,f^{-1}(x)\,)=xDies gilt für alle Argumente xDx\in\mathbb D aus dem Definitionsbereich. Wenn wir nun beide Seiten vom Gleichheitszeichen nach xx ableiten, verwenden wir links die Kettenregel und rechts erhalten wir eine 11:f(f1(x))(f1(x))=1f'(\,f^{-1}(x)\,)\cdot\left(f^{-1}(x)\right)'=1Dividieren wir noch durch die erste Ableitung, sind wir fertig:(f1(x))=1f(f1(x))\left(f^{-1}(x)\right)'=\frac{1}{f'(\,f^{-1}(x)\,)}

Das sieht fürchterlich kompliziert aus, ist aber tatsächlich sehr simpel. Ich führe das mal an einem Beispiel vor. Wir suchen die Ableitung von arcsin(x)\arcsin(x).

sin(arcsin(x))=xbeide Seiten ableiten\left.\sin(\arcsin(x))=x\quad\right|\text{beide Seiten ableiten}cos(arcsin(x))arcsin(x)=1 : cos(arcsin(x))\left.\cos(\arcsin(x))\cdot\arcsin'(x)=1\quad\right|:\cos(\arcsin(x))arcsin(x)=1cos(arcsin(x))\left.\arcsin'(x)=\frac{1}{\cos(\arcsin(x))}\quad\right.

Das lassen wir natürlich nicht so stehen. Mit cos2y+sin2y=1\cos^2y+\sin^2y=1 formen wir um:arcsin(x)=11sin2(arcsin(x))=11x2\arcsin'(x)=\frac{1}{\sqrt{1-\sin^2(\arcsin(x))}}=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}

Dieser letzte Umformungsschritt ist eigentlich der entscheidende, geht aber bei der rein formalen Erklärung in der Regel unter.

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