Punktprobe der Ebenen E?

Question

Aufgabe:

Prüfen Sie, ob die Punkte $\mathrm{P}, Q, \mathrm{R}$ zur Ebene $\mathrm{E}$ gehören. a) E: $\left(\begin{array}{r}2 \\ 3 \\ -1\end{array}\right) \cdot\left[\vec{x}-\left(\begin{array}{l}3 \\ 2 \\ 0\end{array}\right)\right]=0, \quad \mathrm{P}(3|1| 5), \quad 0(1|4| 1), \quad \mathrm{R}(6|0| 0)$
b) $\begin{array}{lll}\mathrm{E}:-2 \mathrm{x}_{1}+3 \mathrm{x}_{2}-5 \mathrm{x}_{3}=10, & \mathrm{P}(5|0| 2), & 0(-1|-4|-4), \mathrm{R}(0|0| 2)\end{array}$
c) E: $\left(\begin{array}{r}1 \\ 0 \\ -2\end{array}\right) \cdot \vec{x}=0, \quad P(2|2| 1), \quad 0(2|4| 1), \quad R(0|1| 0)$
d) Ebene durch $A(-4|3| 2)$ mit $\vec{n}=\left(\begin{array}{r}1 \\ -1 \\ 1\end{array}\right), \quad P(-10|-5| 0), 0(1|7| 1), \quad R(0|5| 0)$

Wie geht das? Bitte mit Erklärung

Answer 1

a)

Wandel die Ebene zunächst in die Koordinatenform.

E: 2·x + 3·y - z = 12

2·3 + 3·1 - 5 = 4 → P liegt nicht auf E

2·1 + 3·4 - 1 = 13 → Q liegt nicht auf E

2·6 + 3·0 - 0 = 12 → R liegt auf E

Comments

E: 2·x + 3·y - z = 12

Wie kommt man da auf die 12?

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Was entsteht beim Ausmultiplizieren aus [2, 3, -1] * [3, 2, 0] ?

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Achso ja.. aber ab da weiß ich nicht, wie Sie drauf gekommen sind:

2·1 + 3·4 - 1 = 13 → Q liegt nicht auf E

2·6 + 3·0 - 0 = 12 → R liegt auf E

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Wenn die Gleichung 2·x + 3·y - z = 12 erfült ist liegt der Punkt mit den Koordinaten x, y und z in der Ebene.

Wenn also links 12 heraus kommt liegt der Punkt in der Ebene. Kommt nicht 12 heraus dann liegt der Punkt halt nicht in der Ebene.

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2·3 + 3·1 - 5 = 4 → P liegt nicht auf E

Könnten Sie die bitte ausführlich rechnen? Ich brauche halt immer ein konkretes, ausführliches bsp, damit ich das verstehe

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E: 2·x + 3·y - z = 12

Das ist die Koordinatenfom der Ebene.

P hat die Koordinaten P (3|1|5)

Du setzt also für x die 3, für y die 1 und für z die 5 in diese Gleichung ein.

2·3 + 3·1 - 5 = 12

4 = 12, unwahr, also liegt der Punkt nicht auf der Ebene. Wäre das Ergebnis 12 = 12 gewesen, dann würde er auf der Ebene liegen.

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Also hat man bei b) ja schon die koordinatenform, oder?

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Ja, so ist es.

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E: 2·x + 3·y - z = 12

Aber wie kommt man überhaupt darauf? Ist das einf (2,3,-1) mit x in der klammer aus multipliziert? Und braucht man die (3,2,0) nicht?

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Hmmm. Einfach ausmultiplizieren

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$E: \left(\begin{array}{r}2 \\ 3 \\ -1\end{array}\right) \cdot\left[\vec{x}-\left(\begin{array}{l}3 \\ 2 \\ 0\end{array}\right)\right]=0$

ist die Normalenform der Ebene.

Wenn du die Klammern ausmultiplizierst, erhältst du

$\left(\begin{array}{r}2 \\ 3 \\ -1\end{array}\right) \cdot x-\left(\begin{array}{r}2 \\ 3 \\ -1\end{array}\right) \cdot\left(\begin{array}{l}3 \\ 2 \\ 0\end{array}\right)=0\\ \left(\begin{array}{r}2 \\ 3 \\ -1\end{array}\right) \cdot x-(2\cdot3+3\cdot2+(-1)\cdot0)=0\\ 2x+3y-z-12=0\\ 2x+3y-z=12$

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Achso. Aber was ist bei c) gemeint? Die ist ja jetzt anders als a & b.

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Setze für $\vec{x}$ die Koordinaten der Punkte ein und schau, ob das Ergebnis = 0 ist.

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Wie? Was muss ich mit dem n machen usw?

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zu c) Punkt P

$E: \left(\begin{array}{r}1 \\ 0 \\ -2\end{array}\right) \cdot \vec{x}=0, \quad P(2|2| 1), \quad 0(2|4| 1), \quad R(0|1| 0) \\$

$1\cdot 2+0\cdot 2+(-2)\cdot 1=0$

Also liegt der Punkt in der Ebene.

zu d)

Du hast einen Punkt und den Normalenvektor der Ebene. Zur Umwandlung in die Koordinatenform kannst du so vorgehen:

$\text{Ebene durch}\quad A(-4|3| 2) \text{ mit}\quad \vec{n}=\left(\begin{array}{r}1 \\ -1 \\ 1\end{array}\right)\\ E:\left(\begin{array}{r}1 \\ -1 \\ 1\end{array}\right)\cdot \begin{pmatrix} x+4\\y-3\\z-2 \end{pmatrix}=0\\x+4-y+3+z-2=0\\ x-y+z+5=0\\x-y+z=-5$

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D)

Dort bei den 1. 2 liegt das auf e, oder?, weil da 0 raus kommt. Aber eigentlich muss man doch auch die Punkte da irgendwo noch reinsetzen, oder nicht?

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Aber eigentlich muss man doch auch die Punkte da irgendwo noch reinsetzen, oder nicht?

Allerdings! Denn wozu hätte ich sonst die Koordinatengleichung ermittelt?

$x-y+z=-5\\-10-(-5)+0=-5\\ -10+5=-5\\-5=-5$

Oder wie bist du darauf gekommen, dass P in der Ebene liegt? O und R liegen ebenfalls darin.

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Habe jetzt heraus, dass bei c alle Punkte auf e liegen, stimmt das?

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Ja, das ist richtig.

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Und was wäre von c) die koordinatenform? Oder sind das diese 3 verschiedene?

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$$\begin{pmatrix} 1\\0\\2 \end{pmatrix} \cdot \vec x = 0 \\ x + 0 \cdot y + 2 \cdot z = 0 \\ x + 2 \cdot z = 0$$

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Ouh sorry, ich meine bei d). Sind das diese 3? Mit = 2x 0 & = -5?

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$$\vec x \cdot \begin{pmatrix} 1\\-1\\1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -4\\3\\2 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1\\-1\\1 \end{pmatrix} \\ x - y + z = -5$$

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Sind die beide die koordinatenformen?

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Die Koordinatenform einer Ebene sieht so aus:

$ax_1+bx_2+cx_3=d\quad \text{oder}\quad ax+by+bz=d$

Du solltest sie schon erkennen, wenn sie dich anspringt ;-)

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\vec x \cdot \begin{pmatrix} 1\\-1\\1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -4\\3\\2 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1\\-1\\1 \end{pmatrix} \\ x - y + z = -5x⋅⎝⎛1−11⎠⎞=⎝⎛−432⎠⎞⋅⎝⎛1−11⎠⎞x−y+z=−5

Was ist hiervon denn genau die koordinatenform?

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Ist diese Frage wirklich ernst gemeint?

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Schon bin gerade bisschen verwirrt

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Siehst du eine gewisse Ähnlichkeit zwischen

$ax+by-cz=d$

und

$x−y+z=−5$

?

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Ja das wurde mit Zahlen eingesetzt. Also ist das untere die koordinatenform? Was ist denn das da drüber? Mit x *(1,-1,1)?

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Ja, das ist die Koordinatenform.