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Willkommen in der Mathelounge... \o/
Unsere Betrachtung findet in einem 2-dimensionalen kartesichen Koordinatensystem statt. Wir überlegen uns, wie eine \(2\times2\)-Matrix \(\mathbf D(x)\) aussehen muss, die einen Ortsvektor um den Winkel \(x\) linksherum dreht. Wenn wir den Vektor \(\binom{1}{0}\) um den Winkel \(x\) nach links drehen, wird daraus der Vektor \(\binom{\cos x}{\sin x}\). Wenn wir den Vektor \(\binom{0}{1}\) um den Winkel \(x\) nach links drehen, wird daraus der Vektor \(\binom{-\sin x}{\cos x}\). Formal mit der Drehmatrix \(\mathbf D(x)\) geschrieben heißt das:$$\mathbf D(x)\cdot\binom{1}{0}=\binom{\cos x}{\sin x}\quad;\quad \mathbf D(x)\cdot\binom{0}{1}=\binom{-\sin x}{\cos x}$$Wir fassen beide Gleichungen zu einer Matrix-Gleichung zusammen:$$\mathbf D(x)\cdot\begin{pmatrix}1 & 0\\0 & 1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\cos x & -\sin x\\\sin x & \cos x\end{pmatrix}\quad\implies\quad\mathbf D(x)=\begin{pmatrix}\cos x & -\sin x\\\sin x & \cos x\end{pmatrix}$$
Ein Vektor \(\vec v\) transformiert sich daher bei einer Drehung um den Winkel \(x\) gemäß$$\vec v'=\mathbf D(x)\cdot\vec v$$Drehen wir den gedrehten Vektor \(\vec v'\) noch um einen Winkel \(y\) weiter, so gilt:$$\vec v''=\mathbf D(y)\cdot\vec v'=\mathbf D(y)\cdot(\,\mathbf D(x)\cdot\vec v\,)\stackrel{(\ast)}=(\,\mathbf D(y)\cdot\mathbf D(x)\,)\cdot\vec v$$Darin haben wir im Schritt \((\ast)\) die Assoziativität von Matrizen benutzt.
Für die Hintereinanderausführung von zwei Drehungen gilt also:
$$\mathbf D(y+x)=\mathbf D(y)\cdot\mathbf D(x)=\begin{pmatrix}\cos y & -\sin y\\\sin y & \cos y\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}\cos x & -\sin x\\\sin x & \cos x\end{pmatrix}$$$$\phantom{\mathbf D(y+x)}=\begin{pmatrix}\cos x\cos y-\sin x\sin y & -\sin x\cos y-\cos x\sin y\\\sin x\cos y+\cos x\sin y & \cos x\cos y-\sin x\sin y\end{pmatrix}$$
Andererseits ist$$D(y+x)=\begin{pmatrix}\cos(x+y) & -\sin(x+y)\\\sin(x+y) & \cos(x+y)\end{pmatrix}$$
Ein Vergleich beider Matrizen liefert die Additionstheoreme:$$\cos(x+y)=\cos x\cos y-\sin x\sin y$$$$\sin(x+y)=\sin x\cos y+\cos x\sin y$$
