Wie löst man diese Aufgabe inklusive Lösungsweg

Question

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22. Gegeben sind die Vektoren \( \vec{a}=\left(\begin{array}{l}1 \\ 0 \\ 1\end{array}\right), \vec{b}=\left(\begin{array}{l}0 \\ 1 \\ 1\end{array}\right) \) und \( \vec{c}=\left(\begin{array}{l}1 \\ 1 \\ 1\end{array}\right) \) sowie \( \vec{d}=\left(\begin{array}{l}2 \\ 1 \\ 4\end{array}\right) \) und \( \overrightarrow{\mathrm{e}}=\left(\begin{array}{r}-2 \\ 0 \\ -3\end{array}\right) \).
Stellen Sie die Vektoren \( \overrightarrow{\mathrm{d}} \) und \( \overrightarrow{\mathrm{e}} \) als Linearkombination der Vektoren \( \overrightarrow{\mathrm{a}}, \overrightarrow{\mathrm{b}} \) und \( \overrightarrow{\mathrm{c}} \) dar.

Answer 1

\(r\vec a+s\vec b+t\vec c=\vec d\)

Das ergibt drei Gleichungen für die Koordinaten.

(I)   1r+0s+1t=2 → r=2-t

(II)   0r+1s+1t=1 → s=1-t

(III)  1r+1s+1t=4 → 2-t+1-t+t=4 → t=-1

r=3; s=2

Zur Probe einsetzen; stimmt!

Oder:

Additionsverfahren

(III)-(I) → s=2

s in (II) → t=-1

t in (I) → r=3

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Die andere Aufgabe prinzipiell auch so.

:-)

Answer 2

Löse die Gleichung \(\vec{d} = r\cdot\vec{a}+s\cdot\vec{b}+t\cdot\vec{c}\). Setze die Lösung in die Gleichung ein.

Löse die Gleichung \(\vec{e} = r\cdot\vec{a}+s\cdot\vec{b}+t\cdot\vec{c}\). Setze die Lösung in die Gleichung ein.