Wie löst man dieses Gleichungssystem? (Vektorraum)

Question

Das war die Ursprungsaufgabe:

v₁=  a+  b+c+d
v₂=2a+2b+ c -d
v₃=  a+  b+3c -d
v₄=  a         - c+d
v₅=        -b+  c -d

a,b,c,d ∈ V (V ist ein ℝ-Vektorraum)
Beweisen sie, dass v₁,v₂.....v₅ linear abhängig sind.

Wie soll man ein so krasses Gleichungssystem nach den skalaren r_i auflösen? Fallunterscheidung? 

r₁-r₅ ungleich 0 r_i ∈ℝ

1: r₁*a+r₁*b+r₁*c+r₁*d=0

2: r₂*2a+r₂*2b+r₂*c-r₂*d=0

3: r₃*a +r₃*b+r₃*c-r₃*d=0

4: r₄*a            -r₄*c +r₄*d=0

5:            -r₅*b+r₅*c-r₅*d =0

Comments

Kann mir keiner weiterhelfen? Oder liege ich komplett daneben?

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"Beweisen sie, dass v₁,v₂.....v₅ linear abhängig sind."

Damit fängts an - was hast Du dazu rausgefunden ?

Answer 1

v₁,...,v₅ linear unabhängig
⇔ r₁v₁+...+r₅v₅ = 0 ist eindeutig lösbar
⇔ r₁(a+b+c+d) + r₂(2a+2b+c-d) + r₃(a+b+3c-d) + r₄(a-c+d) + r₅(-b+c-d) = 0
    ist eindeutig lösbar
⇔ (r₁+2r₂+r₃+r₄)a+(r₁+2r₂+r₃-r₅)b+(r₁+r₂+3r₃-r₄+r₅)c+(r₁-r₂-r₃+r₄-r₅)d = 0
    ist eindeutig lösbar.

Jede Belegung von r₁, ..., r₅, die

r₁+2r₂+r₃+r₄ = 0
        r₁+2r₂+r₃-r₅ = 0
        r₁+r₂+3r₃-r₄+r₅ = 0
        r₁-r₂-r₃+r₄-r₅ = 0

erfüllt, ist Lösung des ursprünglichen Gleichungssystems.

Comments

Ich komme auf keiner eindeutigen Lösung, wenn ich
        r₁+2r₂+r₃+r₄ = 0
        r₁+2r₂+r₃-r₅ = 0
        r₁+r₂+3r₃-r₄+r₅ = 0
        r₁-r₂-r₃+r₄-r₅ = 0
auflöse, sondern bspw. auf  r₄ =3r₂
Was mache ich falsch oder habe ich falsch verstanden?

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Keine eindeutige Lösung bedeutet lineare Ahängigkeit. Und genau das wolltest du ja zeigen.

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Wie kann ich so etwas formulieren reicht es: r₄ =3r₂ ⇒ nicht eindeutig lösbar
oder muss ich alle Werte in Abhängigkeit von r berechnen

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Wichtig ist, dass du den Gedankengang erläuterst, warum die Nichteindeutigkeit der Lösung des letzten LGS die lineare Abhängigkeit zeigt. Die Nichteindeutigkeit der Lösung kannst du auch nachweisen indem du zwei verschiedene Lösungen angibst.