quadratische Form diagonalisierung

Question

Aufgabe:

Führen Sie eine Hauptachsentransformation durch:

Quadratische Form: \(Q\left(\begin{pmatrix}x_1\\x_2\end{pmatrix}\right)=4\cdot x_1^2+24\cdot x_1\cdot x_2+11\cdot x_2^2\)

Comments

Hm. Was meinst du wozu die symmetrische Matrix zu dieser quadratischen Form berechnen solltest.

Habt ihr nicht besprochen wie man eine Hauptachsentransformation macht. Wenn nicht könntest du im Skript und im Internet nachlesen wie das geht und es zunächst einfach selber mal probieren.

Answer 1

Vielleicht hilft ja schon etwas :

\(Q\left(\begin{pmatrix}x_1\\x_2\end{pmatrix}\right)=4\cdot x_1^2+24\cdot x_1\cdot x_2+11\cdot x_2^2 \)

 = \( \begin{pmatrix}x_1 & x_2\end{pmatrix} * \begin{pmatrix}4 & 12\\12  & 11 \end{pmatrix}* \begin{pmatrix}x_1\\x_2\end{pmatrix} \)

Und jetzt erst mal die Eigenwerte der Matrix bestimmen:

x^2 - 15x - 100 = 0

<=> x=-5 v x=20

Comments

könnetst du mir einmal sagen was für normierte Eigenvektoren du hast, damit ich es verlgiechen kann

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Warum nennst du nicht die, die du hast oder machst eine Probe, ob es Eigenvektoren sind?

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ich habe (3/4 1) ist orthogonal (-4/3 1)

und dazu die Eigenvektoren:

(-4/3t t) eigenwerte: -5

(3/4u u) eigenwerte: -20

stimmt das? weil ich muss die Transformationsmatrix aufsatellen?

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ich habe da am Ende:

20y₁² -5y₂²   = stimmt das???