Bestimmen Sie die zur quadratischen Form

Question

Aufgabe:

Bestimmen Sie die zur quadratischen Form

\(Q\left(\begin{pmatrix}x_1\\x_2\end{pmatrix}\right)=4\cdot x_1^2+24\cdot x_1\cdot x_2+11\cdot x_2^2\)

gehörende Symmetrische Matrix \(A\).

Answer 1

Aloha :)

$$\phantom{=}\begin{pmatrix}x_1 & x_2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}a & b \\ b & c\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_1\\x_2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}x_1 & x_2\end{pmatrix}\left(\binom{a}{b}x_1+\binom{b}{c}x_2\right)$$$$=(ax_1+bx_2)x_1+(bx_1+cx_2)x_2=ax_1^2+2bx_1x_2+cx_2^2\stackrel!=4x_1^2+24x_1x_2+11x_2^2$$

Wir lesen ab: \(a=4\;;\;b=12\;;\;c=11\), sodass$$A=\begin{pmatrix}4 & 12\\12 & 11\end{pmatrix}$$

Answer 2

[x, y]·[a, b; c, d]·[x; y] = a·x^2 + (b + c)·x·y + d·y^2

Es muss also gelten

a = 4

b = c = 12

d = 11