Spiegelungsmatrix für Spiegelung an v=(2,3) im euklidischen Vektorraum R^2

Question

Wir betrachten den euklidischen Vektorraum R2 mit dem Standardskalarprodukt

<(x1,x2),(y1,y2)>:=x1y1+x2y2

und die lineare Abbildung

A:R2→R2 (x1,x2)↦A·(x1,x2)

Bestimmen Sie die Matrix A∈R2,2 so, dass die zugehörige lineare Abbildung A eine Spiegelung an der vom Vektor v→ erzeugten Geraden beschreibt.

v=(2,3)

Answer 1

In die Spalten deiner Abbildungsmatrix gehören die Bildvektoren der Basisvektoren (1,0) und (0,1).

Du kannst/sollst dir also im Koordinatensystem überlegen, welche Koordinaten die Bildvektoren dieser beiden Vektoren haben und bist dann fertig.

Spiegelungspunkt für (1,0) kannst du mit dem hellgrünen linearen Gleichungssystem in der Abbildung berechnen.

(1,0)+ x(-3,2) = y(2,3)

1-3x = 2y

 2x = 3y

----> 3/13 = x

Danach bekommst du deinen ersten Spaltenvektor als a = (1,0) + 2x*(-3,2) 

a= (1,0) +6/13 (-3,2) = (1-18/13 , 12/13) = (-5/13, 12/13)

Wenn du das geschafft hast, spiegelst du noch (0,1) an der gegebenen Geraden. Skizze und Rechnung analog. 

(0,1)+ r(-3,2) = s(2,3)

-3r = 2s
1 + 2r = 3r

-------> r= -2/13
 

Der zweite Spaltenvektor ist  b = (0,1) + 2r(-3,2) 
=(0,1) -4/13(-3,2)

= (12/13, 1-8/13) = (12/13, 5/13)

Die Spiegelungsmatrix wäre nun

A=

( -5/13  12/13
  12/13    5/13)

Kontrolle: Determinante einer Spiegelungmatrix (Achsenspiegelung) sollte -1 sein

-25/169 - 144/169 = -169/169 = -1.

Daher sollte das nun stimmen.

Comments

die erklärung ist ja echt nett, ich weiß aber trotzdem nicht wie ich den Spielgelpunkt berechne. :(

ich habe das ganze nicht verstanden

LG

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ich habe das auch nicht verstanden Lu, kannst du das vielleicht über einen anderen weg nochmal erklären?

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Ich kann das nur mit Vektorgeometrie berechnen. Wenn ihr etwas Anderes wollt, bitte oben in einem Kommentar genau angeben, welche Methoden ihr denn kennt.

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ne ich würde schon gerne wissen wie sich das mit vektorgeometrie berechnen lässt, das interessiert mich schon. ich weiß nur nicht wie du mit hilfe zB des hellgrünen gleichungssystems auf den vektor kommst.

und wie lese ich a = (0,1) + 2x*(-3,2) ?

welcher ist da der obere und der untere wert des 1. vektors?

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Danke Thaden! Da war in der Graphik (1,0) und (0,1) verdreht.
Ich hoffe, man kann die korrigierte Version nun nachvollziehen.

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schaut mal hier, ganz unten steht der Lösungsweg. Ich versteh den ersten Teil, aber den zweiten nicht mit Aw = –w

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Die arbeiten dort mit den beiden Eigenvektoren.
Der Richtung Spielgelungsachse hat den Eigenwert 1.
Der senkrechte dazu hat den Eigenwert -1.

Ich hab aber oben mit Vektoraddition die Rechnung ohne Eigenwerte und -vektoren (fertig) gemacht.

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ja konnte ich nachvollziehen danke :)


nur noch dass es beim ersten spaltenvektor -5/13 sein müssten

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Lu hier ist eine Demo.

Ich versteh alles, bis auf den Schritt nach dem =......= nicht. Das ist relativ weit unten bei "1.Spalte von A ist Ae1".....

 

Könntest du bitte erklären, wie das geht?

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Zum Zwischenschritt
A(-2/5 (-2,1) + 1/5(1,2)) |Linearität
=-2/5 A(-2,1) + 1/5A(1,2)        |Bilder der Eigenvektoren einsetzen
=-2/5(-2,1) + 1/5(-1,-2)

=(4/5 -1/5, -2/5 -2/5)
=(3/5, -4/5)

Den andern schaffst du nun bestimmt selbst, wenn du tatsächlich Eigenwerte und Eigenvektoren gehabt hast.

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wir hatten aber keine eigenvektoren und eigenwerte..

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Dann musst du halt doch meinen Lösungsweg nehmen ;)

Eigenvektoren sind Vektoren, die nach der Abbildung noch die gleiche Richtung haben. Die zugehörigen Eigenwerte geben an, in welchem Verhältnis sie verkürzt oder verlängert werden.

Für eine Achsenspiegelung (Achse durch Ursprung) gilt: Es gibt 2 Eigenwerte 1 und -1. 1 gehört zu den Vektoren, die parallel zur Spiegelungsachse verlaufen. Da die Spiegelungsachse eine Fixpunktgerade ist. -1 gehört zu den Eigenvektoren, die senkrecht auf der Spiegelungsachse stehen. Auch sie behalten ihre Richtung (werden jedoch um 180° gedreht).