Was versteht man unter Lineartransformation?

Question

Aufgabe:

Rechenregeln vom arithmetisches Mittel

Problem/Ansatz:

Was versteht man unter einer Lineartransformation? Und wie ist diese auf das arithmetische Mittel anwendbar?

Answer 1

Eine lineare Transformation ist eine Umrechnung der Werte, sodass die Verhältnisse zwischen den Werten erhalten bleiben. Das bedeutet, dass alle vorhandenen Werte mit der gleichen Zahl multipliziert werden. Dann wird auch das  vorhandene arithmetische Mittel mit dieser Zahl multipliziert, um das arithmetische Mittel der linear transformierten Wertemenge zu erhalten.

Answer 2

Aloha :)

Die Mittelwert-Bildung \(\left<\cdots\right>\) ist linear. Das heißt, es gelten zwei wichtige Regeln:

(1) Wenn du eine Zufallsvariable \(X\) und eine Zufallsvariable \(Y\) hast, dann ist der Mittelwert von beiden die Summe der einzelnen Mittelwerte:$$\left<X\pm Y\right>=\left<X\right>\pm\left<Y\right>$$

(2) Wenn du eine Zufallsvariable \(X\) mit einer reellen Zahl \(a\in\mathbb R\) multiplizierst, dann ändert sich auch ihr Mittelwert um diesen Faktor \(a\):$$\left<a\cdot X\right>=a\cdot\left<X\right>$$

Dazu ein Beispiel. Der Mittelwert von \(X\) sei \(\left<X\right>=3\). Der Mittelwert von \(Y\) sei \(\left<Y\right>=5\). Dann gilt für den Mittelwert der Zufallsvariablen \(Z=2\cdot X-Y\):$$\left<Z\right>=\left<2\cdot X-Y\right>=\left<2\cdot X\right>-\left<Y\right>=2\cdot\left<X\right>-\left<Y\right>=2\cdot3-5=1$$