Da man wohl statistische Unabhängigkeit voraussetzen kann, beträgt die Wahrscheinlichkeit, 1 rote, 2 blaue und 3 grüne Kugeln in genau einer bestimmten Reihenfoge zu ziehen:
P("1 Rote und 2 Blaue und 3 Grüne in genau einer bestimmten Reihenfolge")
= P("1 Rote" ) * P ("2 Blaue") * P ("3 Grüne")
= ( 4 / 18 ) *( 6 / 18 ) 2 * ( 8 / 18 ) 3
≈ 0,00216769
Da es aber auf die Reihenfolge nicht ankommt, müssen alle unterscheidbaren Möglichkeiten gezählt werden, diese Kugeln anzuordnen. Dazu kann man den Multinomialkoeffizienten
$$\frac { n! }{ { k }_{ 1 }!*{ k }_{ 2 }!*{ ...*k }_{ r }! }$$
nutzen. Dieser beschreibt gerade die Anzahl der unterscheidbaren Anordnungen von n Objekten, die in r Gruppen zu jeweils kr nicht unterscheidbaren Objekten eingeteilt werden können.
Vorliegend gibt es n = 6 Objekte, die in r = 3 Gruppen nicht unterscheidbarer Objekte eingeteilt werden können, nämlich in die 3 Gruppen
{ rot }
{ blau, blau }
{ grün , grün , grün }
Es gilt also:
k1 = 1
k2 = 2
k3 = 3
Damit gibt es
$$\frac { 6! }{ 1!*2!*3! } =\frac { 720 }{ 12 } =60$$
unterscheidbare Möglichkeiten, diese 6 Kugeln anzuordnen. Kommt es also wie vorliegend nicht auf die Reihenfolge an, in der die Kugeln gezogen werden, dann muss die Wahrscheinlichkeit für eine ganz bestimmte Reihenfolge (siehe oben ) mit der Anzahl der unterscheidbaren Reihenfolgen multipliziert werden, um die Wahrscheinlichkeit für eine beliebige Reihenfolge der Kugeln zu berechnen.
Die gesuchte Wahscheinlichkeit beträgt daher:
P("1 Rote und 2 Blaue und 3 Grüne in beliebiger Reihenfolge")
= P("1 Rote und 2 Blaue und 3 Grüne in genau einer bestimmten Reihenfolge")
* Anzahl Reihenfolgen
= 0,00217 * 60 ≈ 0,1302 = 13,02 %
