Orthogonaler Endomorphismus finden

Question

Aufgabe:

1. Seien \( T_{1}, T_{2} \in \operatorname{End}\left(\mathbb{F}^{3}\right) \) normal, so dass beide 2,5 und 7 als Eigenwerte haben. Zeigen Sie, dass es einen orthogonalen/unitären Endomorphismus \( S \in \operatorname{End}\left(\mathbb{F}^{3}\right) \) gibt, so dass \( T_{1}=S^{\star} T_{2} S \).

$$\mathbb{F}^{3} \, ist\, hier\, entweder\, \mathbb{R}^{3} oder\, \mathbb{C}^{3}$$

Kann mir jemand helfen wie man dieses S findet? Ich weiss dass es eine Basis gibt mit Eigenvektoren, verstehe aber nicht was damit anfangen. Danke für die Hilfe.

Answer 1

Fall \(\mathbb F=\mathbb C\). Normale Matrizen sind unitär diagonalisierbar, d.h. es gibt unitäre Matrizen \(U_1,U_2\), sowie Diagonalmatrizen \(D_1,D_2\) mit$$❶\quad T_1=U_1\,D_1\,U_1^\star\\[-8px]❷\quad T_2=U_2\,D_2\,U_2^\star$$Bis auf Permutation gilt \(D_1=D_2=\operatorname{diag}(2,5,7)\) und damit \(U_1^\star\,T_1\,U_1=U_2^\star\,T_2\,U_2\), also \(T_1=U_1\,U_2^\star\,T_2\,U_2\,U_1^\star\). Wähle \(S=U_2\,U_1^\star\).

Comments

Ahhh stimmt macht Sinn so. Vielen dank!