Gibt es hierfür irgendeine besondere Regel?

Question

Aufgabe:

Die Aufgabe lautet, dass ich zeigen soll, dass die Geraden g und h parallel aber nicht identisch sind.

Die jeweiligen Geraden lauten:

g:\( \vec{x} \)=\( \begin{pmatrix} 2\\2\\-1 \end{pmatrix} \)+s\( \begin{pmatrix} 0\\-4\\2 \end{pmatrix} \)

h:\( \vec{x} \)=\( \begin{pmatrix} 4\\1\\-4 \end{pmatrix} \)+t\( \begin{pmatrix} 0\\4\\-2 \end{pmatrix} \)

Wenn man die Geraden auf ihre parallelität überprüft, muss man die Richtungsvektoren der Gleichungen nehmen.

Also:

0=u×0

-4=u×4

2=u×(-2)

Problem/Ansatz:

Für u bekomme ich bei der Gleichung 0=u×0 0 bzw. es ist nicht lösbar heraus und für die anderen jeweils -1. Parallel sind die Geraden zueinander jeweils, wenn alle Koordinaten gleich sind, dass können sie hier aber nicht sein. Gibt es hierfür irgendeine besondere Regel?

Vielleicht habe ich auch die Gleichungen g und h falsch aufgestellt, denn die vorgegebenen Punkte sind A(2;2;-1) B(2;-2;1) C(4;1;-4) und \( \vec{u} \)=\( \begin{pmatrix} 0\\4\\-2 \end{pmatrix} \). Die Gerade g setzt sich aus AB zusammen oder die Gerade h aus dem Punkt C und \( \vec{u} \) als Richtungsvektor für die Gleichung. Habich mich hier verrechnet?

Answer 1

Hallo,

nein, du hast dich nicht verrechnet. Wenn du einen Richtungsvektor mit -1 multiplizierst, ergibt sich der andere Richtungsvektor, denn -1 mal 0 ist auch null.

Somit hast du gezeigt, dass die Geraden parallel oder identisch sind.

Um zu prüfen, ob sie identisch sind, setzt du zum Beispiel den Punkt A, der auf g liegt, = h(x). Erhältst du kein eindeutiges Ergebnis oder eine falsche Aussage, sind die Geraden auch nicht identisch.

Gruß, Silvia

Comments

Das bedeutet, wenn ich für 0=u×0 nicht lösbar herausbekomme, weil 0 kann es nicht sein, da nichts geteilt durch nichts, nichts ergibt, sind die geraden nicht parallel?

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Solltest du für einen Faktor 0 erhalten, ignoriere das und rechne mit den anderen beiden Gleichungen weiter.

Answer 2

Aloha :)

Parallel sind die beiden Geraden, wenn ihre Richtungsvektoren kollinear sind, d.h. sie müssen bis auf einen konstanten Faktor (der nicht \(0\) sein darf) gleich sein.

Zwei parallele Geraden sind identisch, wenn ihre Richtungsvektoren kollinear sind und beide Geraden mindestens einen gemeinsamen Punkt haben.

Dass die Richtungsvektoren kollinear sind, sieht man sofort, denn sie unterscheiden sich um den Faktor \((-1)\). Also sind die beiden Geraden schon mal parallel.

Die \(x\)-Koordinate der Geraden \(g\) ist immer \(x_g=2\). Sie kann sich nicht ändern, weil die \(x\)-Koordinate der Richtungsvektors null ist. Die \(x\)-Koordinate der Geraden \(h\) ist immer \(x_h=4\). Sie kann sich auch nicht ändern. Also haben beide Geraden nie einen gemeinsamen Punkt. Sie sind daher nicht identisch.

Comments

Das bedeutet, wenn ich für 0=u×0 nicht lösbar herausbekomme, weil 0 kann es nicht sein, da nichts geteilt durch nichts, nichts ergibt, sind die geraden nicht parallel?