Ist das ein Vektorraum? .

Question

Aufgabe:

(b) \( \left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{3}: x \neq y+1\right\} \)

Problem/Ansatz:

erstens verwirrt es mich, dass hier ∈ ℝ^3 steht, da die Vektoren mit (x,y) eigentlich nur zweidimensional sind. Ist das vielleicht ein Fehler? Laut Lösung ist dies KEIN Vektorraum, was ich auch nicht nachvollziehen kann, da alle 3 Bedingungen für einen VR meiner Meinung nach zutreffen. Ist hier die Lösung falsch oder hab ich einen Denkfehler?

Answer 1

Aloha :)

Ein Vekorraum ist abgeschlossen bezüglich Addition und Subtraktion von Vektoren. Die beiden Vektoren \(\binom{4}{1}\) und \(\binom{3}{1}\) erfüllen die Bedingung, sind also in der Menge enthalten. Ihr Differenzvektor$$\binom{4}{1}-\binom{3}{1}=\binom{1}{0}$$erfüllt die Bedingung jedoch nicht, ist also nicht in der Menge enthalten. Die Abgeschlossenheit bezüglich Addition bzw. Subraktion ist also nicht efüllt. Es liegt kein Vektorraum vor.

Answer 2

vgl.

https://de.wikipedia.org/wiki/Vektorraum

https://www.massmatics.de/merkzettel/#!326:Vektorraum