Zeigen Sie, dass das kartesische Produkt V × W mit den Abbildungen ein K-Vektorraum ist.

Question

Aufgabe:

Seien K ein Körper und V und W zwei K-Vektorräume. Zeigen Sie, dass das kartesische
Produkt V × W zusammen mit den Abbildungen
+ : (V × W ) × (V × W ) → V × W, ((v, w), (v′, w′))  ↦ (v + v′, w + w′)
· : K × (V × W ) → V × W, (a, (v, w)) ↦ (av, aw)
ein K-Vektorraum ist.

Problem/Ansatz:

Wie zeigt man sowas?

Answer 1

Du musst die VR-Axiome für (V x W , + , · ) zeigen. Z.B.

1. Abgeschlossen bzgl. +:

Seien (v, w) und (v′, w′) aus V x W, dann ist die Summe

(v, w) +(v′, w′) = (v + v′, w + w′) wieder in V x W,

denn wegen der Abg. von (V,+) ist v+v' ∈ V

und entsprechend w+w' ∈ W.

2. Assoziativität von +:

Seien (v, w) und (v′, w′)  und (v′', w′')  aus V x W.

Dann gilt ( (v, w) +(v′, w′) ) + (v'', w'')

= (v + v′, w + w′) + (v'', w'')

= ((v + v′)+v'', (w + w′)+w'')  

wegen der Ass. in V und W ist das gleich

= (v + (v′+v''), w + (w′+w'') )   Def. anwenden:

=   (v,w)  + (v′+v'' ,w′+w'')    nochmal

=  (v, w) +((v′, w′)  + (v'', w'')). q.e.d.

In der Art kannst du alle VR-Axiome auf die

Gültigkeit in V und W "zurückspielen".