Text erkannt:
Sei \( S \) die Standardbasis des \( t D_{s}(\phi)=\left(\begin{array}{ccc}2 & -1 & 0 \\ -2 & 2 & -1 \\ 7 & 5 & 5\end{array}\right) \in \mathbb{R}^{3 \times 3} . \) Sie durfen ohne Beweis vemenden, dass das charakteristiche Polynom \( h_{\phi}=p^{3} \) fur \( p(x)=x-3 \) erfullt.
(a) Bestimmen Sie das Minimalpolynom \( g_{0}(x) \). Geben Sie den Ausdruck in der Polynormariablen ' \( x \) ' \( ( \) 'klein \( x \) ) an!
Basis von \( \operatorname{Kern}(p(\phi)) \) :
Basis von \( \operatorname{Kern}\left(p^{2}(\phi)\right) \) :
(c) Bestimmen Sie cine Basis \( T \) des \( \mathbf{R}^{3} \) so dass \( D_{T}(\phi) \) mindestens 5 Nullen enthalt.
Beispiel far (b):
Angenommen Sie haben die Vektoren \( v_{1}-\left(\begin{array}{l}1 \\ 2 \\ 3\end{array}\right) \) und \( v_{2}-\left(\begin{array}{c}-4 \\ -6 \\ -8\end{array}\right) \) gefunden. Dann trogen Sie folgendes als Ergebnis ein:
$$ \left(\begin{array}{lll} 1 & -4 & 0 \\ 2 & -6 & 0 \\ 3 & -8 & 0 \end{array}\right) . $$
Text erkannt:
Sei \( S \) die Standardbasis des \( \mathbb{R}^{3} \) und \( \phi \in \operatorname{End}\left(\mathbb{R}^{3}\right) \) mit \( D_{S}(\phi)=\left(\begin{array}{ccc}2 & -1 & 0 \\ -2 & 2 & -1 \\ 7 & 5 & 5\end{array}\right) \in \mathbb{R}^{3 \times 3} \). Sie dürfen ohne Beweis verwenden, dass das
charakteristische Polynom \( h_{\phi}=p^{3} \) für \( p(x)=x-3 \) erfüllt.
(a) Bestimmen Sie das Minimalpolynom \( g_{\phi}(x) \). Geben Sie den Ausdruck in der Polynomvariablen 'x' ("klein \( x \) ) an!
(b) Bestimmen Sie eine Basis von \( \operatorname{Kern}(p(\phi)) \) und eine Basis von \( \operatorname{Kern}\left(p^{2}(\phi)\right) \). Tragen Sie dabei jeweils die Basisvektoren als Spaltenvektoren ein und füllen Sie mit Nullen auf (Beispiel siehe unten).
Basis von \( \operatorname{Kern}(p(\phi)) \) :
(c) Bestimmen Sie eine Basis \( T \) des \( \mathbb{R}^{3} \) so dass \( D_{T}(\phi) \) mindestens 5 Nullen enthält.
Beispiel für (b):
Angenommen Sie haben die Vektoren \( v_{1}=\left(\begin{array}{l}1 \\ 2 \\ 3\end{array}\right) \) und \( v_{2}=\left(\begin{array}{c}-4 \\ -6 \\ -8\end{array}\right) \) gefunden. Dann tragen Sie folgendes als Ergebnis ein:
$$ \left(\begin{array}{lll} 1 & -4 & 0 \\ 2 & -6 & 0 \\ 3 & -8 & 0 \end{array}\right) $$
