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Sei \( S \) die Standardbasis des \( \mathrm{R}^{3} \) und \( \phi \in \operatorname{End}\left(\mathbb{R}^{3}\right) \) mit \( D_{s}(\phi)-\left(\begin{array}{ccc}2 & -1 & 0 \\ -2 & 2 & -1 \\ 7 & 5 & 5\end{array}\right) \in \mathbb{R}^{3 \times 3} \). Sie durfen ohne Beweis venvenden dass das charakteristische Polynom \( h_{\phi}-p^{3} \) fur \( p(x)-x-3 \) erfallt.
(a) Bestimmen Sie das Minimalpolynom \( g_{\phi}(\mathbf{x}) \). Geben Sie den Ausdruck in der Polynomvariablen \( \mathbf{x}^{\prime} \) ' ' 'klein \( \boldsymbol{x} \) ) an.
(b) Bestimmen Sie eine Basis von \( \operatorname{Kern}(p(\phi)) \) und eine Basis von \( \operatorname{Kern}\left(p^{2}(\phi)\right) \). Tragen Sie dabe jeweils die Basisvektoren als Spaltenvektoren ein und füllen Sie mit Nullen auf (Beispiel siehe unten). Basis von \( \operatorname{Kern}(p(\phi)) \) :
Basis von \( \operatorname{Kern}\left(p^{2}(\phi)\right) \) )
(c) Bestimmen Sie eine Basis \( T \) des \( \mathrm{R}^{3} \) so dass \( D_{T}(\phi) \) mindestens 5 Nullen enthalt.
